6、全等模型及其应用重难突破-【一战成名·新中考】2022中考数学三轮冲刺考前逆袭方案（河北专用）

板块诊断集训·河北数学 全等模型及其应用重难突破 类型 １　　平行线型 １．如图，点 Ａ、Ｂ、Ｄ、Ｅ在同一条直线上，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ∥ ＤＦ，ＢＣ∥ＥＦ．求证：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ． 第１题图 ２．如图，点Ｏ是数轴的原点，点Ａ在数轴负半轴上，以ＯＡ 为边在数轴上方作平行四边形ＯＡＢＣ，且∠ＢＡＯ＝６０°．点 Ｄ是ＯＣ的中点，连接ＢＤ并延长交数轴于点Ｅ． （１）设点Ａ表示的数为 ａ，点 Ｅ表示的数为 ｂ，求证：ａ ＋ｂ＝０； （２）连接ＣＥ，若ＣＥ恰好垂直ＡＥ，判断△ＡＢＥ的形状． 第２题图 ３．如图，点Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｂ在同一直线上，点Ａ，Ｄ在ＢＣ异侧， ＡＢ∥ＣＤ，ＡＥ＝ＤＦ，∠Ａ＝∠Ｄ． （１）求证：ＡＢ＝ＣＤ； （２）若ＡＢ＝ＣＦ，∠Ｂ＝４０°，求∠Ｄ的度数． 第３题图 ４．如图，Ｂ，Ｆ，Ｃ，Ｅ是直线 ｌ上的四点，ＡＢ∥ＤＥ，ＡＢ＝ ＤＥ，ＢＦ＝ＣＥ． （１）求证：△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ； （２）将△ＡＢＣ沿直线ｌ翻折得到△Ａ′ＢＣ． ①用直尺和圆规在图中作出△Ａ′ＢＣ（保留作图痕 迹，不要求写作法）； ②连接Ａ′Ｄ，Ａ′Ｄ与ｌ的位置关系是　　　　． 第４题图 类型 ２　　共角型 ５．如图，已知ＢＥ⊥ＡＣ，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足分别为Ｅ，Ｄ，ＢＥ与 ＣＤ相交于点Ｆ，ＦＤ＝ＦＥ．求证：ＡＤ＝ＡＥ． 第５题图 ６．如图，在△ＡＢＣ中，点 Ｄ是边 ＢＣ的中点，连接 ＡＤ并 延长到点 Ｅ，使得 ＤＥ＝ＡＤ，连接 ＣＥ．求证：△ＡＢＤ≌ △ＥＣＤ． 第６题图                                                                    ４３１ 板块诊断集训·河北数学 类型 ３　　旋转全等型 ７．在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ． （１）如图①，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ，ＡＣ上，且∠ＥＤＦ＝ ９０°，求证：ＢＥ＝ＡＦ； （２）如图②，点 Ｍ在 ＡＤ的延长线上，点 Ｎ在 ＡＣ上， 且∠ＢＭＮ＝９０°，求证：ＡＢ＋ＡＮ 槡＝２ＡＭ． 图① 　　 图② 第７题图 ８．如图①，在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝４０°，连接 ＢＤ，ＣＥ，将△ＡＤＥ绕点 Ａ 旋转，ＢＤ，ＣＥ也随之运动． （１）求证：ＢＤ＝ＣＥ； （２）在△ＡＤＥ绕点Ａ旋转的过程中，当ＡＥ∥ＢＣ时，求 ∠ＤＡＣ的度数； （３）如图②，当点 Ｄ恰好是△ＡＢＣ的外心时，连接 ＤＣ，判断四边形ＡＤＣＥ的形状，并说明理由． 　　 第８题图 ９．如图，△ＡＢＣ和△ＡＯＤ是等腰直角三角形，ＡＢ＝ＡＣ， ＡＯ＝ＡＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＤ＝９０°，点 Ｏ是△ＡＢＣ内的一 点，∠ＢＯＣ＝１３０°． （１）求证：ＯＢ＝ＤＣ； （２）求∠ＤＣＯ的大小； （３）设∠ＡＯＢ＝α，则当 α为多少度时，△ＣＯＤ是等腰 三角形？ 第９题图 类型 ４　　一线三等角型 １０．如图，ＡＢ＝ＡＣ，直线ｌ过点Ａ，ＢＭ⊥直线 ｌ，ＣＮ⊥直线 ｌ，垂足分别为Ｍ，Ｎ，且ＢＭ＝ＡＮ． 求证：（１）△ＡＭＢ≌△ＣＮＡ； （２）∠ＢＡＣ＝９０°． 第１０题图                                                                       ５３１ 板块诊断集训·河北数学 １１．问题１：如图①，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°， Ｐ是ＢＣ上一点，ＰＡ＝ＰＤ，∠ＡＰＤ＝９０°．求证：ＡＢ＋ ＣＤ＝ＢＣ． 问题２：如图②，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°， Ｐ是ＢＣ上一点，ＰＡ＝ＰＤ，∠ＡＰＤ＝９０°．求ＡＢ＋ＣＤＢＣ 的值． 图① 　　　 图② 第１１题图 类型 ５　　其他类型 １２．如图，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，点 Ｄ，Ｅ分别在边 ＢＣ， ＡＣ上，ＤＥ＝ＤＢ，∠ＤＥＣ＝∠Ｂ．求证：ＡＤ平分∠ＢＡＣ． 第１２题图 １３．如图，四边形 ＡＢＣＤ为菱形，点 Ｅ为对角线 ＡＣ上的 一个动点，连接ＤＥ并延长交 ＡＢ或 ＡＢ的延长线于 点Ｆ，连接ＢＥ． （１）如图①，求证：∠ＡＦＤ＝∠ＥＢＣ； （２）如图②，当ＤＥ＝ＥＣ且∠ＤＡＢ＝６０°时，ＡＦ与 ＢＥ 具有怎样的数量关系？请说明理由； （３）若∠ＤＡＢ＝９０°且当△ＢＥＦ为等腰三角形时， ∠ＥＦＢ＝　　　　． 第１３题图                                