第2部分 16、三角形的内心&17、三角形的外心&18、弧长与扇形面积-【一战成名·新中考】2022中考数学三轮冲刺考前逆袭方案（河北专用）

逆袭必背·河北数学 ２．切线的性质与判定 （１）切线的两个特征：①过半径的外端；②垂直于这条半径； （２）与切线有关的计算 ①看到切线，首先找切点和圆心，连接圆心和切点得垂直；若找不到切点，则过圆心作切线的垂线，垂线段的 长度等于半径； ②与切线有关的角度问题：由切线得直角，进而利用直角三角形两锐角互余推导角度； ③与切线有关的线段长问题：由切线得直角，在直角三角形中，利用勾股定理、锐角三角函数列出对应方程计算； ３．与切线有关的分类讨论 （１）定直线与动圆相切：动圆的位置可以在定直线的两侧．如图①，若 ｌ２上一动点 Ｏ为圆心的圆与直线 ｌ１相切， 则点Ｏ在ｌ１两侧各有一个（如图②）； 图① 　　 图② （２）圆心不动半径动的圆与图形的边相切：没有指定相切于哪条边时，需要讨论圆与图形每条边相切的情况．如 图③，点Ｏ是△ＡＢＣ中边ＢＣ的中点，以Ｏ为圆心，ｒ为半径的圆，与△ＡＢＣ的边所在直线相切，需分与 ＡＣ相 切（如图④）和与ＡＢ相切（如图⑤）两种情况； 图③ 　　 图④ 　　 图⑤ （３）绕定点旋转的圆与图形的边相切：没有指定相切于哪条边时，需要讨论圆与图形每条边相切的情况．如图⑥， 将图中半圆绕点Ｍ逆时针旋转（小于１８０°），半圆与矩形 ＡＢＣＤ的边所在直线相切的情况可能有３种，即与 ＣＤ相切（如图⑦），与ＡＢ相切（如图⑧），与ＡＤ相切（如图⑨）． 图⑥ 　　 图⑦ 　　 图⑧ 　　 图⑨ 十六、三角形的内心 １．内心：三角形三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心． ２．三角形内心的特点 （１）连接内心与三角形顶点的线平分三角形内角．如图，ＡＩ平分∠ＢＡＣ，ＢＩ平分∠ＡＢＣ，ＣＩ平分∠ＡＣＢ； （２）过内心作三角形三边的垂线，垂线段相等．如图，ＩＰ＝ＩＱ＝ＩＭ； （３）若△ＡＢＣ的三边长分别为ａ，ｂ，ｃ，内切圆半径为ｒ，则ｒ＝ ２Ｓ△ＡＢＣ ａ＋ｂ＋ｃ．（根据Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＩ＋Ｓ△ＢＣＩ＋Ｓ△ＡＣＩ推导） （４）三角形内心与三角形两顶点连线的夹角等于另一个角的一半再加９０°．如∠ＢＩＣ＝９０°＋１２∠ＢＡＣ．（根据 三角形内角和定理可推导） ３．见到内心咋思考 （１）见到内心，就考虑连接内心与三角形顶点———一定会出现角平分线； ６１ 逆袭必背·河北数学 （２）见到内心，就考虑作三边的垂线———垂线段相等． 十七、三角形的外心 １．外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心． ２．三角形外心的特点 （１）连接外心与三角形各顶点的线段相等．如图①，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ； （２）过外心作三角形三边的垂线，垂线平分对应的边． （３）三角形的外心由三角形形状决定（当三角形形状不确定时，谈外心需要分类讨论） 外心在三角形内锐角三角形三角形三个内角均小于９０°（图①）； 外心在三角形边上直角三角形（外心所在边的对角为９０°）（图②）； 外心在三角形的外部钝角三角形（与外心最近的边的对角是钝角）（图③）． （４）外心与三角形两顶点连线的夹角与另一角的关系（如∠ＢＯＣ与∠ＢＡＣ的关系）：若∠ＢＡＣ是锐角，则∠ＢＯＣ＝２ ∠ＢＡＣ；若∠ＢＡＣ是钝角，则∠ＢＯＣ＝３６０°－２∠ＢＡＣ． 图① 　　　 图② 　　　　 图③ 十八、弧长与扇形面积 １．弧长公式：ｌ＝ｎπｒ１８０（ｎ°是弧所对圆心角度数；ｒ是弧所在圆半径） 推导方法：半径为ｒ的圆的周长为２πｒ，１°圆心角的弧长为圆周长的 １３６０，则ｎ°圆心角的弧长为圆周长的 ｎ ３６０． ２．扇形面积公式①：Ｓ＝ｎπｒ ２ ３６０（ｎ°是扇形的圆心角度数；ｒ是扇形的半径） 推导方法：半径为ｒ的圆的面积为πｒ２，其中１°扇形的面积为圆面积的 １３６０，则ｎ°圆心角的扇形面积为圆面积的 ｎ ３６０． 扇形面积公式②：Ｓ＝１２ｌｒ（ｌ是扇形的弧长，ｒ是扇形的半径） 推导方法：由ｌ＝ｎπｒ１８０得ｎπｒ＝１８０ｌ，代入扇形面积公式①得Ｓ＝ ｎπｒ ３６０·ｒ＝ １８０ｌ ３６０·ｒ＝ １ ２ｌｒ． ３．不规则图形面积计算方法 直接公式法 直接和差法 构造和差法 等积转化法 Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＡＢＤ Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ扇形ＡＢＤ Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＯＤＣ－Ｓ扇形ＤＯＥ Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＢＯＣ Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＢＯＤ Ｓ阴影 ＝Ｓ正六边形ＡＢＣＤＥＦ－ Ｓ扇形ＢＡＦ Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＯＢＤ＋Ｓ扇形ＯＤＣ （ＣＤ∥ＡＢ） Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＣＯＤ ７１