第2部分 6、直角三角形-【一战成名·新中考】2022中考数学三轮冲刺考前逆袭方案（河北专用）

逆袭必背·河北数学 （３）证明一个三角形是等腰三角形：首先找这个三角形中最可能相等的两条边，然后通过题目已知条件推导这两 条边相等或其所对的角相等； （４）不确定性等腰三角形问题，需要分类讨论． ①当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验； 若等腰三角形有一个角为７０°，可以是以下两种形状： ②当腰长与底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验． 若等腰三角形其中两边长为５和６时，可以是以下两种形状： （５）常见的两个等腰三角形模型 模型 角平分线＋直角→等腰 角平分线＋平行→等腰 基本图形 说明 ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＢＤ⊥ＡＤ于点Ｄ ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＥ∥ＢＣ 结论 延长ＢＤ交ＡＣ于点Ｅ，则ＡＢ＝ＡＥ ＢＥ＝ＤＥ ２．遇到等边三角形咋思考 （１）等边三角形三边均相等，三个内角均为６０°； （２）等边三角形的三条高均相等，且都垂直平分对应的边； （３）若等边三角形的边长为ａ，则它的高为槡３２ａ，面积为Ｓ＝ １ ２·ａ· 槡３ ２ａ＝ 槡３ ４ａ ２． （４）等边三角形常作辅助线如下： 作底边的高，分成两个含３０°角 的直角三角形 延长ＢＣ到 Ｄ，使得 ＣＤ＝ＢＣ，连 接ＡＤ，则△ＢＡＤ是含３０°角的直 角三角形 在 ｌ上分别取点 Ｄ，Ｅ，使得 ∠ＢＤＡ＝∠ＢＡＣ＝∠ＡＥＣ＝６０°， 则△ＢＤＡ≌△ＡＥＣ 六、直角三角形 １．看到直角三角形咋思考 （１）与直角三角形有关的角度计算：考虑两锐角互余； （２）看到直角三角形斜边中点：考虑斜边中线等于斜边一半； ０１ 逆袭必背·河北数学 （３）遇到直角三角形求线段长：用勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）； 温馨提示：勾股定理是初中阶段求线段长度最常用的方法之一，一般情况下，没有直角时，可考虑作垂直来构造 直角三角形． （４）看到有一个锐角是３０°： 另一个锐角是６０°；短直角边等于斜边的一半；三条边的长度比（从小到大）为： 槡１∶３∶２； （５）看到有一个角是４５°： 另一个锐角也是４５°；两直角边相等；斜边长是任意一条直角边长的槡２倍； （６）已知两直角边求直角三角形的面积：Ｓ＝１２×两直角边长的积； 温馨提示：若直角三角形两直角边长分别为ａ，ｂ，斜边长为ｃ，要计算斜边上的高ｈ时，可用等面积法得Ｓ＝１２ ａｂ＝１２ｃｈ＝ １ ２· ａ ２＋ｂ槡 ２·ｈ，即ｈ＝ ａｂ ａ２＋ｂ槡 ２ ． ２．如何证明一个三角形是直角三角形 （１）利用直角三角形定义证明：有一个角是９０°的三角形是直角三角形．此时可直接证明其中一个内角是直角， 也可以证明另外两个内角互余（和为９０°）； （２）勾股定理逆定理：若一个三角形的两边的平方和等于另一边的平方，那么这个三角形是直角三角形（经常应 用于坐标系中直角三角形存在性问题的分类讨论中）． 七、全等三角形 １．全等三角形的性质：两个三角形全等，对应角、对应线段、面积都相等． ２．全等三角形的判定 （１）找三边分别相等→定理ＳＳＳ； （２）找两边及其夹角分别相等→定理ＳＡＳ； （３）找两角及其夹边分别相等→定理ＡＳＡ； （４）找两角分别相等且其中一组等角的对边相等→定理ＡＡＳ； （５）若两个直角三角形，斜边和一条直角边分别相等→定理ＨＬ． ３．证明两个三角形全等时，图中有以下隐含信息，注意转化： （１）图中有平行线→得等角（同位角、内错角相等）； （２）图中有中点→得等线段； （３）图中有角平分线→得等角、共线相等或作两边的垂线出现等线段； （４）图中有共线段→得共线段相等； （５）图中有共角（共部分角）→得共用的角相等． 八、相似三角形 １．相似三角形的性质 （１）对应角相等； （２）对应线段的比等于相似比； （３）面积比等于相似比的平方． ２．相似三角形的判定 定理 图形 要点 平行三角形一边的直线截原三角 形所得的三角形与原三角形相似 图中有平行线 １１