江西省全南中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

2022-2023学年第二学期高中学段期中 高二数学科 一、单选题（每题5分，共40分） 1．“”是“函数在上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在这个生物链中，若能使获得的能量，则需提供的能量为（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是 A． B． C． D． 5．若函数的极小值为-1，则函数的极大值为 A．3 B．-1 C． D．2 6．已知分别是等差数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 7．若存在实数使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数（e为自然对数的底数）恰有一个极值点，则实数a的范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分） 9．设数列的前项和为，，，则（    ） A．是等比数列 B．是单调递增数列 C．是单调递减数列 D．的最大值为12 10．在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项为240 B．第4项的二项式系数最大 C．第4项的系数最大 D．所有项的系数和为64 11．下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是（    ）． A． B．若，则 C．为偶函数 D．若，则 三、填空题（共20分） 13．已知函数在处的导数为11，则=___________. 14．2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为____． 15．已知数列满足，（），则的值为___________. 16．设，函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为_______. 四、解答题（共70分） 17．设数列的前项和为，满足且 ． （1）求的通项公式； （2）若，，成等差数列，求证：，，成等差数列． 18．已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)求在点处的切线方程． 19．过点的直线与拋物线交于点，（在第一象限），且当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)若，延长交抛物线于点，延长交轴于点，求的值. 20．如图，在四面体中，平面，，，，且，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）是棱中点，求证：平面． 21．数列满足，． (1)求，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 22．已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 1．A 当时，，即函数单调递增 当时，或 因为函数在上为增函数，所以，即 则在上为增函数的充要条件为 是的真子集，为充分不必要条件 故选：A. 2．D 根据题意可知：能量流动法则里表明能量的效率大约是， 如果要使获得能量， 则，解得， 故选：D． 3．B 随机变量，若， 则. 故选：B 4．C 设第一次摸到黑球为事件，则， 第二次摸到白球为事件，则， 设第一次摸到黑球的条件下， 第二次摸到球的概率为. 故选：C. 5．A ，显然当时，，当时，，∴是极大值点，1是极小值点，于是有，， 从而，即极大值为3． 故选A． 6．D 分别是等差数列的前项和，故，且，故， 故选：D 7．A 不等式成立， 即，即， 其几何意义表示点与的距离的平方不超过，即最大值为． ∵为直线：即上一点， ∴设与平行，且与相切于点， ∴，由导数的几何意义，在点处切线的斜率， ∴解得，∴， ∴直线：上的点与曲线的距离的最小值即点到直线的距离， ∴当且仅当时，， ∴解得， 综上所述，的取值集合为． 故选：A． 8．A 解：由，得， 因为函数恰有一个极值点， 所以在有一个变号的根， 由，得， 所以与在有一个交点， 因为， 令，则， 所以在上单调递减，而， 所以当时，，即，则在上单调递增， 当时，，即，则在上单调递减， 所以， 因为当时，，时，， 若与有一个交点，则只需， 故选：A 9．CD 由，得，知是等差数列，不是等比数列，故A错误； 因为是公差的等差数列，所以是单调递减数列，故B错误，C正确； 由得，即，所以当或4时，取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：CD. 10．AB 的二项展开式的通项公式为， 对于A：要求常数项，只需，解得：r=2