清华大学新领军2023年4月学科综合能力测试（TACA）数学零试

2023年4月学科综合能力测试(TACA) 数学零试 ①可以使用以下近似数值：T≈3.14159，V示≈1.77245，π2≈9.86960，n10≈ 2.302585,e≈2.71828，V2≈1.41421，v3≈1.73205. ②对x∈R,用x表示不超过r的最大整数，用x表示x的绝对值 ③对有限集合X,用X|表示X中元素个数 1.考虑1n(1+x+x2+x3)在x=0处的泰勒展开，设x2024项的系数为a. 求la-]. 2.设f(x)∈C(®)，满足f"(x)=xf(x),且f(0)=18,f'(O)=3.设f(x)的 泰勒展开式为∑anx”,求ag n=0 3.设f)=∑2"cosn,记A=aP,求0A. n=0 4设8=户区1++7求10ms9 1 5.在9阶置换群Sg中，称两个元素1,2是共轭的，如果存在T∈S,使 得T-1o1r=2.记，=(12345)(4567)∈Sg,求Sg中与o共轭的元素个数. 6.令f(x)=【]+2x+3xl+[4x+[5z小，当x取遍0,50中的实数时， 求f(z)能取到的整数值的个数. 7.记M(100,R)是所有100阶实方阵的集合，设S={A∈M(100,R)A+ A2=0}.称A,B∈S是相似的，如果存在可逆的100阶实方阵P使得P-1AP= B.求S中互不相似的矩阵个数的最大值. 8.设 S={(x,,a,w)∈Z4|x,,2,0∈0,18，x2+y2≡z2+w2(mod19)}. 求1S. 2 9.考虑n-1阶方阵 「3-入-入 -入 一入… -入 一入 8-入 一入 -入 -入 Mn(A)= -入 -入15-入-入. -入 -入 -入 (n2-1)-入 设入mn是最大的实数入，使得dctM(A)=0.记I=lim sup An,求[100： n+0 10.设f(x)是(0，+oo)上的单调递减非负函数，满足对任意t>0,{x∈ Q+1回>母的长度为行求0，fe叫 1l.设I=erd,求【-ln 12.设V为所有次数不超过100的实系数多项式构成的线性空间，令 M={f∈V1f2k-1(0)=0,k=1,2,…,50, 2={f∈V|f(-1)=f(1)=0,k=70,71,…,98. 求dim(巧+2). 13.有20盏红灯、10盏绿灯，每次随机灭掉一盏灯，直到某种颜色的灯全部灭 掉.设a为剩下的灯的数目的平均值，求[10a. 14.对空间直角坐标系W,先以之轴为中心轴旋转写，再以x轴为中心轴旋 转子得到一个以某条直线为中心轴的旋转.设新的旋转角为0∈0，小求a2仰 15.对R100中的点x=(c1,2,·,E100),=(1,2,…,100),令f(x,）= 100 00fc, -明尺.对x≠定义10阶方阵Aw=(a写，其中a=奶 i=1 求Ax,的轶的最小可能值与最大可能值之和，即 min{rank(A.w）|,y∈R1oo,x≠}+max{rank(A.）|x,y∈R1oo,r≠y以.