第一章 第4节　基本不等式-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P262] A组　保分练 1．已知x>0，y>0，若x＋y＝1，则的最小值为(　　) A．4　　　　　　　　　 B． C．2 D． 解析　因为x>0，y>0，x＋y＝1， 所以xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号， 则≥4，即最小值为4. 答案　A 2．函数y＝x＋的最小值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析　因为x>－2，所以x＋2>0，>0，利用基本不等式可得 x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0， 当且仅当x＋2＝，即x＝－1时等号成立． 答案　D 3．已知a>0，b>0，3a＋＝1，则＋3b的最小值为(　　) A．13 B．19 C．21 D．27 解析　＋3b＝＝3＋12＋＋9ab≥15＋2＝27，当且仅当＝9ab，即a＝，b＝6时，等号成立，故＋3b的最小值为27. 答案　D 4．若函数f＝在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋ B．2 C．4 D．6 解析　由题意，x－2>0，而f＝＝＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，所以a＝4. 答案　C 5．(2022·萍乡三模)已知正实数x，y满足lg x＋lg y＝2，则＋的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析　由lg x＋lg y＝lg (xy)＝2，则xy＝100， 所以＋≥2＝，当且仅当＝， 即x＝5，y＝20时等号成立， 所以＋的最小值为. 答案　B 6．对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，4] B．(0，2] C．(－∞，4] D．(－∞，2] 解析　∵x＋4y≥m， 即m≤，即m≤min. 又∵＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝4y时等号成立，即m≤4，故m∈(－∞，4]. 答案　C 7．(2022·宁乡模拟)小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v，则(　　) A．v＝ B．v＝ C．<v< D．b<v< 解析　设从甲地到乙地的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则t1＝，t2＝，v＝＝＝， ∴v＝>＝b，v＝＝<＝， 故选D. 答案　D 8．(多选)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A．0<≤ B．＋≥1 C．log2a＋log2b<2 D．≤ 解析　因为a>0，b>0，ab≤2≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则ab≤2＝4或2≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则≥，≤2，a2＋b2≥8，≤， 当且仅当a＝b＝2时等号成立， 则log2a＋log2b＝log2(ab)≤log222＝2， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故AC错误，D正确． 对于B选项，＋＝＝≥4×＝1， 当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B正确． 答案　BD 9．(多选)(2022·衡阳三模)已知实数a>0，b>0，a＋b＝1.则下列不等式正确的是(　　) A．2a＋2b≥2 B．＋≤ C．≤16 D．＋≤ 解析　∵a＋b＝1，则b＝1－a，∴2a＋2b＝2a＋21－a＝2a＋≥2，当且仅当2a＝，即a＝b＝时等号成立，A正确； ＋＝＋＝，令t＝a＋1∈，则a＝t－1， ＝＝≤，当且仅当t＝即t＝时等号成立，D正确； ∵a＋b≥，即1≥，则＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，B正确； ∵ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴＝×＝＝4＋≥16，C不正确； 故选ABD. 答案　ABD 10．(2021·上海卷)已知函数f(x)＝3x＋(a＞0)的最小值为5，则a＝________． 解析　f(x)＝3x＋＝3x＋1＋－1≥2－1＝5，当且仅当3x＋1＝时等号成立，所以a＝9，经检验，当且仅当3x＝2时等号成立． 答案　9 11．(2020·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________． 解析　依题意得＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时取等号．因此，＋＋的最小值为4. 答案　4 12．(2022·杭州检测)若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则a2＋b2的最小值等于________，＋的最大值等于________． 解析　由不等式≤ ， 可得 ≥，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，≤ ＝，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立． 答案　　 B组　提升练 13．已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是(　　) A． B． C． D．3 解析　因为x＋y＋z＝1，0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，所以＋＝＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，