第四章 第7节　余弦定理和正弦定理的应用-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P309] A组　保分练 1．如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度h为(　　) A．(30＋30)m　　　 B．(30＋15)m C．(15＋30)m D．(15＋15)m 解析　∵∠BAP＋∠APB＝45°，∴∠APB＝45°－30°. 由已知及正弦定理，得＝， ∴PB＝＝＝30(＋). ∴h＝PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m. 答案　A 2．已知某大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？(最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值)(　　) A． B． C．3 D．2 解析　如图所示，由题意知：AB＝3，BD＝3.5－1.5＝2， 设CD＝t，则tan ∠BCD＝，tan ∠ACD＝， ∴tan ∠ACB＝＝＝＝≤＝， ∵∠ACB∈， ∴当CD＝时，可以获得观看的最佳视野． 答案　B 3．小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状(雨棚的厚度忽略不计)，已知入口高度AB和出口处高度CD均为H，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析　雨棚横截面正弦曲线振幅为A，则雨棚的最低点到地面的距离为H－A，雨棚的最高点到地面的距离为H＋A，由题意有H－A≥(H＋A)，解得A≤，所以横截面正弦曲线振幅的最大值为. 答案　C 4．某小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶．已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正东方向走了50米，到达可回收垃圾桶，随后向北偏西30°方向走了80米，到达有害垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走(　　) A．70米 B．65米 C．55米 D．50米 解析　如图，在△EFG中，EF＝50，FG＝80，∠EFG＝60°， 由余弦定理得 EG＝＝＝70. 答案　A 5．(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”．则海岛的高AB＝(　　) A．＋表高 B．－表高 C．＋表距 D．－表距 解析　连接DF交AB于M，则AB＝AM＋BM. 记∠BDM＝α，∠BFM＝β，则－＝MF－MD＝DF.而tan β＝，tan α＝.所以－＝MB＝MB·＝MB·.故MB＝＝，所以高AB＝＋表高． 答案　A 6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为________海里/时． 解析　如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°. 在△PMN中，由正弦定理得＝， 所以MN＝68×＝34(海里). 又由M到N所用的时间为14－10＝4(小时)， 所以此船的航行速度v＝＝(海里/时). 答案　 7．(2022·长春第三次联考)如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为CA＝8 km，DB＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决定在AB上找一点P，分别向C，D修建两条垂直的公路PC和PD，设∠APC＝θ，则当PC＋PD最小时，AP＝____________km. 解析　由题意得，PC＋PD＝＋＝＋，令y＝＋，则y′＝， 令y′＝0，则tan θ＝，当y′＞0时，tan θ＞，当y′＜0时，tan θ＜.故当tan θ＝时，y取得最小值，此时AP＝＝＝12. 答案　12 8．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝，则△BCD的面积为________． 解析　设BD＝x，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以cos ∠ADC＝－cos ∠BDC，由余弦定理可得＝－，解得x＝，故AD＝1，AC＝1，所以cos A＝＝0，所以A＝，所以△BCD的面积为×＝. 答案　 9．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°.在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．