第三章 第4节 第一课时　利用导数证明不等式-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P289] A组　保分练 1．已知函数f(x)＝aex－ln x－1. (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间； (2)证明：当a≥时，f(x)≥0. (1)解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝aex－. 由题设知，f′(2)＝0，所以a＝. 从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－. 当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞). (2)证明　当a≥时，f(x)≥－ln x－1(x>0). 设g(x)＝－ln x－1(x>0)， 则g′(x)＝－(x>0). 当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0. 所以x＝1是g(x)的极小值点，也是最小值点． 故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0. 因此，当a≥时，f(x)≥0. 2．已知函数f(x)＝ln ＋mx. (1)若f(x)≤0，求实数m的值； (2)在(1)的条件下，当n≥3且n∈N*时，证明：<. (1)解析　当m≥0时，由x>－，f(1)>0不符合题意． ∴m<0，f′(x)＝＋m＝， 令f′(x)<0，得x>－－；令f′(x)>0，得－<x<－－. 则函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴f(x)在x＝－－取得最大值， ∵f(x)≤0＝f(0)， ∴－－＝0，解得m＝－1. (2)证明　由(1)知当m＝－1时，令f′(x)＝＝0，得x＝0， 当x∈时，f′(x)>0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 则f(x)在x＝0处取得最大值，且f(0)＝0. ∴ln ≤2x， 当n≥3时，令x＝－，ln <－， 即<e，e<， 所以e<，e<，…，e<，e<， 相乘得<···…··＝＝1＋2＋…＋n， B组　提升练 3．(2022·太原二模)已知函数f(x)＝ln x＋，g(x)＝ex＋sin x，其中a∈R. (1)试讨论函数f(x)的单调性； (2)若a＝1，证明：f(x)<. (1)解析　f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝－＝， 当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，令f′(x)>0，解得x>a；令f′(x)<0，解得0<x<a； ∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无递减区间； 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． (2)证明　∵a＝1，∴f(x)＝ln x＋， 即证ln x＋<. ∵x>0，即证ex＋sin x－x ln x－1>0. 当x∈(0，1)时，ex>1，sin x>0，x ln x<0. ∴ex＋sin x－x ln x－1>1－1＝0， 当x∈[1，＋∞)时，令g(x)＝ex＋sin x－x ln x－1，则g′(x)＝ex＋cos x－ln x－1， g″(x)＝ex－sin x－≥e－1－1>0， ∴g′(x)＝ex＋cos x－ln x－1在[1，＋∞)上单调递增． ∴g′(x)≥g′(1)＝e＋cos 1－0－1>0， ∴g(x)＝ex＋sin x－x ln x－1在[1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)≥g(1)＝e＋sin 1－0－1>0. 综上所述，f(x)<，即f(x)<. 4．已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. (1)解析　f′(x)＝－a(x>0). ①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0； 当x>时，f′(x)<0， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明　因为x>0，所以只需证f(x)≤－2e， 当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减．所以f(x)max＝f(1)＝－e， 记g(x)＝－2e(x>0)，则g′(x)＝， 所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min＝g(1)＝－e， 综上，当x>0时，f(x)≤g(x)， 即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0. C组　冲刺练 5．已知函数f(x)＝ln x－. (1)求函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值； (2)设b＞a＞0，证明：＜. (1)解析　f′(x)＝－＝≥0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增． 又f(1)＝0，所以f(x)min＝f(1)＝0.