第三章 第4节 第二课时　利用导数研究恒(能)成立问题-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P291] A组　保分练 1．(2022·张家口一模)已知函数f(x)＝axeax＋(a＋b)x，g(x)＝(1＋x)ln x. (1)当a＝－b＝1时，证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)>g(x)； (2)若对∀x∈(0，＋∞)，都∃b∈[－1，0]，使f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． (1)证明　当a＝－b＝1时，f(x)＝xex. 令h(x)＝ex－(x＋1)(x>0)， 则h′(x)＝ex－1>0， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝0， 所以h(x)＝ex－(x＋1)>0，即ex>x＋1. 令φ(x)＝x－ln x(x>0)，则φ′(x)＝1－＝，所以φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且φ(1)＝1，所以φ(x)＝x－ln x≥1>0，所以x>ln x. 所以当x∈(0，＋∞)时，有xex>x(x＋1)>(x＋1)ln x， 所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)>g(x). (2)解析　因为∃b∈[－1，0]，使f(x)≥g(x)恒成立，令φ(b)＝axeax＋(a＋b)x， 只需φ(b)max≥g(x)，即axeax＋ax≥(1＋x)ln x在x∈(0，＋∞)上恒成立， 整理得ax≥(x＋1)ln x＝ln x.(*). 设F(x)＝x，则F′(x)＝ex(x＋1)＋1，设H(x)＝F′(x)＝ex(x＋1)＋1， 又H′(x)＝(x＋2)ex，可得x>－2时，H′(x)>0，H(x)单调递增；x<－2时，H′(x)<0，H(x)单调递减，因此当x＝－2时，H(x)有最小值H(－2)＝1－>0， 所以F(x)在R上单调递增． 所以(*)式即F(ax)≥F(ln x)， 所以ax≥ln x，即a≥. 设G(x)＝，x>0，则G′(x)＝， 令G′(x)＝0，解得x＝e. 当0<x<e时，G′(x)>0，函数G(x)单调递增；当x>e时，G′(x)<0，函数G(x)单调递减． 所以G(x)max＝G(e)＝，所以a≥. 所以实数a的取值范围为 2．(2022·保定二模)已知函数f(x)＝ex－1－ln x－x ln a＋ln a. (1)若a＝1，证明：f(x)≥1. (2)当x∈时，f(x)≥1恒成立，求a的取值范围． (1)证明　当a＝1时，f′(x)＝ex－1－， 因为f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(1)＝0， 所以x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)在(0，1)上单调递减， 当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增． 所以f(x)min＝f(1)＝1，所以f(x)≥1. (2)解析　f′(x)＝ex－1－－ln a， 由于函数y＝ex－1，y＝－在均为单调递增函数， 所以，f′(x)＝ex－1－－ln a在上单调递增，且f′(1)＝－ln a. 当f′(1)＝－ln a≥0，即0<a≤1时，f′(x)≥0，f(x)在上单调递增， 所以f(x)≥f(1)＝1. 当f′(1)＝－ln a<0，即a>1时，f′(x)存在唯一的零点x0>1， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减， 则f(x)<f(1)＝1，这与f(x)≥1恒成立矛盾，所以a>1不满足题意 综上，a的取值范围是. B组　提升练 3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a. (1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f(x)≥1，求a的取值范围． 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝aex－1－. (1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2. 直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为，2. 因此所求三角形的面积为. (2)当0<a<1时，f(1)＝a＋ln a<1. 当a＝1时，f(x)＝ex－1－ln x，f′(x)＝ex－1－. 当x∈(0，1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1. 当a>1时，f(x)＝aex－1－ln x＋ln a≥ex－1－ln x≥1. 综上，a的取值范围是[1，＋∞). 4．已知函数F(x)＝－. (1)设函数h(x)＝(x－1)F(x)，当a＝2时，证明：当x＞1时，h(x)＞0； (2)若F(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围． (1)证明　当a＝2时，h′(x)＝. 当x＞1时，h′(x)＞0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，又h(1)＝0， ∴当x＞1时