第三章 第3节　导数与函数的极值、最值-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P287] A组　保分练 1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　) A．x＝1　　　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 解析　f′(x)＝2(x2－1)·2x＝4x(x＋1)(x－1)， 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝1，经验证，都满足题意． 答案　C 2．(多选)(2022·枣庄模拟)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)在区间上是增函数 B．函数f(x)在区间(－1，1)上无单调性 C．函数f(x)在x＝－处取得极大值 D．函数f(x)在x＝1处取得极小值 解析　由函数y＝xf′(x)的图象，可得； 当x∈(－∞，－1)时，由xf′(x)<0，可得f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(－1，0)时，由xf′(x)>0，可得f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(0，1)时，由xf′(x)<0，可得f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，由xf′(x)>0，可得f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x＝－1时，f(x)取得极大值；当x＝1时，f(x)取得极小值，故选AD. 答案　AD 3．已知函数f(x)＝x3－ax2－bx(a＞0，b＞0)的一个极值点为1，则ab的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 解析　由题意，得f′(x)＝x2－ax－b.因为1是函数f(x)的一个极值点，所以f′(1)＝－a－b＝0，所以a＋b＝， 所以ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以ab的最大值为，故选D. 答案　D 4．函数f(x)＝的最大值为(　　) A．1 B．e C． D．e2 解析　因为f(x)＝，所以f′(x)＝， 令f′(x)>0可得0<x<e，令f′(x)<0可得x>e，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在上单调递减，∴函数f(x)＝在x＝e处取得极大值，即最大值，所以f(x)max＝f＝. 答案　C 5．若f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　) A．－或－ B．－或 C．－ D．－ 解析　∵f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a， ∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 又f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10， ∴f′(1)＝3＋2a＋b＝0， f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10， ∴a2＋8a＋12＝0， ∴a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9. 当a＝－2，b＝1时， f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)， 当＜x＜1时，f′(x)<0，当x＞1时，f′(x)>0， ∴f(x)在x＝1处取得极小值，与题意不符； 当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)， 当x＜1时，f′(x)>0，当1＜x＜3时，f′(x)<0， ∴f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意，则＝＝－，故选C. 答案　C 6．(2022·南宁一模)已知函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则f(x)的极小值为________． 解析　f′(x)＝，f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝＝0，a＝－1， 所以f(x)＝， f′(x)＝＝， x<0或x>1时，f′(x)<0；0<x<1时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)和(1，＋∞)上递减，在(0，1)上递增，因此x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝＝1. 答案　1 7．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，则实数c的取值范围为________． 解析　若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点， 则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不相等的实根， 故Δ＝(－4c)2－12>0，解得c>或c<－. 所以实数c的取值范围为∪. 答案　∪ 8．某工厂拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).该蓄水池的体积最大时h＝________米． 解析　∵蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元， ∴蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π， ∴h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3). ∵r>0，又由h>0可得0<r<5， ∴函数V(r)的定义域为(0，5)， V′(r)＝(300－12r2)，令V′(r