第三章 第1节　导数的概念及其意义、导数的运算-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P283] A组　保分练 1．已知函数f(x)＝x sin x＋ax，且f′＝1，则a＝(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．4 解析　因为f′(x)＝sin x＋x cos x＋a，且f′＝1，所以sin ＋cos ＋a＝1，即a＝0. 答案　A 2．(多选)下列求导数运算不正确的是(　　) A．(sin x)′＝－cos x B．(log2x)′＝ C．′＝ D．(e2x＋1)′＝2e2x＋1 解析　选项A，(sin x)′＝cos x，故A错误； 选项B，(log2x)′＝，故B错误； 选项C，′＝，故C错误； 选项D，(e2x＋1)′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，正确． 答案　ABC 3．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) 解析　由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B. 答案　B 4．(2022·洛阳三模)若过点P作曲线y＝x3的切线，则这样的切线共有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析　设切点为，由y＝x3，所以y′＝3x2，所以y′|x＝x0＝3x， 所以切线方程为y－x＝3x，即y＝3xx－2x，因为切线过点P， 所以0＝3x－2x，解得x0＝0或x0＝， 所以过点P作曲线y＝x3的切线可以作2条，故选C. 答案　C 5．(2022·新乡三模)若函数f(x)＝ex＋x3＋a的图象在点处的切线方程为y＝kx＋2k，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析　因为f(x)＝ex＋x3＋a，则f′(x)＝ex＋3x2，则f′(0)＝1＝k，即切线方程为y＝x＋2，所以，f(0)＝1＋a＝2，解得a＝1. 答案　A 6．已知函数f(x)＝＋，则f′(x)＝________． 解析　f′(x)＝＋(x－2)′＝＋(－2)x－3 ＝－. 答案　－ 7．(2022·泸州三模)曲线y＝＋x在点处的切线方程为____________________． 解析　y′＝＋1＝＋1，k＝1＋1＝2， 则切线方程为y－1＝2，即y＝2x－1. 答案　y＝2x－1 8．已知函数f(x)＝＋3ln x－x2，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为bx＋y－2＝0，则a＋2b＝________． 解析　由题意知，f′(x)＝－＋－2x，f′(1)＝－a＋1＝－b，f(1)＝a－1＝2－b，解得a＝2，b＝1，所以a＋2b＝4. 答案　4 9．(2022·东北三校第一次联考)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)＋xf′(x)＝，f(1)＝1，则f(x)的零点是________． 解析　令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝，∴g(x)＝ln x＋C(C为常数)，即xf(x)＝ln x＋C(C为常数).又f(1)＝1，∴C＝1，∴f(x)＝，令f(x)＝＝0，则ln x＋1＝0，∴ln x＝－1，得x＝e－1＝，故f(x)的零点为. 答案　 10．已知函数f(x)＝－x3＋x2＋ax＋b(a，b∈R). (1)当a＝3，b＝0时，求函数f(x)在(3，f(3))处的切线方程； (2)若函数f(x)在其图象上任意一点(x0，f(x0))处切线的斜率都小于2a2，求实数a的取值范围． 解析　(1)a＝3，b＝0时， f(x)＝－x3＋x2＋3x， f(3)＝9，f′(x)＝－x2＋2x＋3， f′(3)＝－9＋6＋3＝0，k＝0， 所以函数f(x)在x＝3处的切线方程为y＝9. (2)因为f′(x)＝－x2＋2x＋a， 由题意得f′(x)＝－x2＋2x＋a＜2a2对任意x∈R恒成立， 即－x2＋2x＜2a2－a对任意x∈R恒成立， 设g(x)＝－x2＋2x， 所以g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， 所以当x＝1时，g(x)有最大值为1， 所以2a2－a＞1，解得a＞1或a＜－，所以，实数a的取值范围为. B组　提升练 11．(2022·新高考全国卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____________． 解析　易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0＋a)·)，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1)ex0. 可得切线方程为y－(x0＋a) ＝(x0＋a＋1) ·(x－x0)，又切线过原点，可得－(x0＋a) ＝－x0(x0＋a＋1) ，化简得x＋ax0－a＝0(※)，又切线有两条，即※方程有两不等实根，由判别式Δ＝a2＋4a>0，得a<－4，或a>0. 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 12．(2022·