第七章 第6节 第二课时　空间向量的综合应用-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P340] A组　保分练 1．如图，在四棱锥P­ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，PB＝AB＝2BC＝2，则点C到直线PA的距离为(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D．2 解析　因为PB⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PB⊥AB，PB⊥BC，因为 AB⊥BC，所以如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B­xyz，则C，A，P，＝，＝，即·＝4. 在上的投影向量的长度为＝＝，故点C到直线PA的距离为＝. 答案　A 2．(多选)(2022·广州市综合测试)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下列结论中正确的是(　　) A．PQ与EF一定不垂直 B．二面角P­EF­Q的正弦值是 C．△PEF的面积是2 D．点P到平面QEF的距离是常量 解析　对于A，当点P与点D1重合时，由正方体的性质可得， PQ⊥平面A1ABB1，因为EF⊂平面A1ABB1，所以PQ⊥EF，故A不正确．对于B，如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AE＝t，D1P＝n，则E(4，t，0)，F(4，t＋1，0)，P(0，n，4)，Q(2，0，4)，则＝(0，1，0)， ＝(4，t－n，－4)，＝(2，t，－4).设平面PEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则 即取x1＝1， 则n1＝(1，0，1).设平面QEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则 即取z2＝1，n2＝(2，0，1). 易知二面角P­EF­Q为锐二面角，设二面角P­EF­Q的平面角为α，则cos α＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝，所以sin α＝，B正确．对于C，由正方体的性质知，AB⊥平面BB1C1C，连接BC1，因为BC1⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，所以EF⊥BC1.因为D1C1∥AB，点P在D1C1上，所以点P到EF的距离等于BC1， 所以S△PEF＝×EF×BC1＝×1×4＝2，故C正确．对于D，连接AD1，A1D，易证得A1D⊥平面ABC1D1，因为平面PEF与平面ABC1D1是同一个平面，所以点Q到平面PEF的距离为A1D＝，所以VQ­PEF＝×S△PEF×＝×2×＝.因为点Q到AB的距离为定值，所以S△QEF为定值．设点P到平面QEF的距离为h，则由VP­QEF＝VQ­PEF，得S△QEF·h＝，即h＝，所以h 为定值，故D正确．综上所述，选BCD. 答案　BCD 3．如图，在长方体中，AD＝AA1＝2，AB＝3，若E为AB中点，则点B1到平面D1EC的距离为____________． 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接CB1，由题意得C(0，3，0)，E，D1(0，0，2)，B1(2，3，2)， ∴ ＝，＝(0，－3，2)，＝(2，0，2)， 设平面D1EC的法向角为n＝(x，y，z)，则 即令z＝6，得n＝(3，4，6)， ∴点B1到平面D1EC的距离d＝＝. 答案　 4．已知在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为________． 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(0，2，)，则＝(2，2，0)，＝(0，2，)，易知AC1∥平面BDE. 设n＝(x，y，z)是平面BDE的法向量． 则 取y＝1，则n＝(－1，1，－)为平面BDE的一个法向量． 又＝(2，0，0)， 所以点A到平面BDE的距离是 d＝＝＝1. 故直线AC1到平面BED的距离为1. 答案　1 5.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点． (1)求异面直线A1B，EF所成角θ的余弦值； (2)求点B1到平面AEF的距离． 解析　以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)， (1)易知＝(2，0，－2)，＝(1，－1，－1)， ∴cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝. (2)设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)， ∵＝(0，2，1)，＝(1，1，0)， ∴得 令a＝1，则b＝－1，c＝2，∴n＝(1，－1，2)， 又＝(2，0，2)