第七章 第4节　空间直线、平面的垂直-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P334]

A组　保分练

1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(　　)

A．平行　　　　　　　　　 B．相交

C．垂直    D．异面

解析　当直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在直线与l平行，故A项错误；当l∥α时，在α内不存在直线与l相交，故B项错误；当l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，故D项错误；无论哪种情形，在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C项．

答案　C

2．(2022·临汾三模)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)

A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B．若α⊥β，m⊂α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n

解析　A选项，考虑正方体上下底面和一个侧面，可判断错误；B选项，可考虑正方体相邻两面的共点对角线，可判断错误；C选项，由线面垂直的性质定理即可判断正确；D选项，考虑上底面的相邻两边与下底面的关系，可判断错误．

答案　C

3．(多选)(2022·淄博一模)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的有(　　)

A．若α∥β，m⊂α，则m∥β B．若α⊥β，m⊥α，则m∥β

C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m⊥n，m∥α，则n∥α

解析　对于A，由面面平行性质：两平面平行，在一平面内的任意直线与另一平面平行．而α∥β，m⊂α，故m∥β，A正确；

对于B，α⊥β，m⊥α，此时m有可能在平面β内，故不能得到m∥β，B错误；

对于C，由于m∥n，则n可经平移到与m重合的位置，而平移不改变直线与平面是否垂直，m⊥α，故n⊥α，C正确；

对于D，当m∥α，m⊄α，过m上一点作直线n⊥α，此时m⊥n，不能得到n∥α，D错误．综上，AC正确．

答案　AC

4．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，

则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)

A．直线AB上    B．直线BC上

C．直线AC上    D．△ABC内部

解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1，

得AC⊥平面ABC1.

因为AC⊂平面ABC，

所以平面ABC1⊥平面ABC，

所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．

答案　A

5．如图，在四面体D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

解析　因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.

答案　C

6．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．

解析　∵DA⊥平面α，AC⊂平面α，∴DA⊥CA，

在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA，

且DA∩BA＝A，DA，BA⊂平面ADB，

∴CA⊥平面DAB，DB⊂平面DAB，∴CA⊥DB.

答案　垂直

7．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β.(填所选条件

的序号)

解析　根据面面平行的特征可得，若m⊂α，α∥β，

则m∥β；根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若m⊥α，α∥β，则m⊥β.

答案　(3)(5)　(2)(5)

8．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

解析　∵PA⊥底面ABCD，

∴BD⊥PA，连接AC(图略)，

则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等)

9．如图，在三棱锥P­ABC中，△PAB，△ABC均为等边三角形．

(1)求证：AB⊥PC；

(2)若AB＝2，PC＝.求三棱锥P­ABC的体积．

(1)证明　取AB的中点E，连接PE，EC，因为△PAB，△ABC均为等边三角形，所以PE⊥AB，EC⊥AB，且PE∩EC＝E，所以AB⊥平面PEC，所以AB⊥PC.

(2)解析　因为AB＝2，所以PE＝EC＝，所以△PEC是等边三角形，由(1)可知AB⊥