第六章 第3节　等比数列-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P322] A组　保分练 1．(2022·六安一模)已知{an}为等比数列，且a2·a3＝2a1，a4与2a7的等差中项为，则a5＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．31 D． 解析　由a2·a3＝2a1得a1q3＝a4＝2，① 又a4＋2a7＝2＋2a7＝，得2a1q6＝，② 由①②得a1＝16，q＝，∴a5＝16×4＝1. 答案　A 2．(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析　∵Sn为等比数列{an}的前n项和， ∴S2，S4－S2，S6－S4成等比数列， ∵S2＝4，S4－S2＝6－4＝2， ∴S6－S4＝1， ∴S6＝1＋S4＝1＋6＝7. 故选A. 答案　A 3．(多选)已知正项的等比数列{an}中a1＝2，a4＝2a2＋a3，设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　) A．q＝2 B．an＝2n C．S10＝2 047 D．an＋an＋1<an＋2 解析　因为a4＝2a2＋a3，可得a1q3＝2a1q＋a1q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1， 又由正项的等比数列{an}，可得q>0，所以q＝2，所以A正确； 数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n，所以B正确； 则S10＝＝211－2＝2 046，所以C不正确； 由an＝2n，则an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3·2n，an＋2＝2n＋2＝4·2n，所以an＋an＋1<an＋2，所以D正确．故选ABD. 答案　ABD 4．(2022·南昌二模)已知公比不为1的正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10S2，则公比q＝(　　) A．3 B．2 C． D． 解析　由题知公比不为1且为正，由S4＝10S2得＝10·，化简得(1－q2)(q2－9)＝0，所以q＝3. 答案　A 5．(2022·绵阳一模)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若－5，S3，S6成等差数列，则S9－S6的最小值为(　　) A．25 B．20 C．15 D．10 解析　因为{an}是正项等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6仍然构成等比数列， 所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6).又－5，S3，S6成等差数列， 所以S6－5＝2S3，S6－S3＝S3＋5，所以S9－S6＝＝＝S3＋＋10. 又{an}是正项等比数列， 所以S3>0，S3＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S3＝5时取等号．故选B. 答案　B 6．(2022·绵阳三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，an＋1＝Sn＋3，则S5＝________． 解析　由a1＝3，an＋1＝Sn＋3，得a2＝a1＋3＝6， 当n≥2时，由an＋1＝Sn＋3，得an＝Sn－1＋3， 所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，所以an＋1＝2an，因为＝＝2， 所以数列{an}是以2为公比，3为首项的等比数列，所以S5＝＝93. 答案　93 7．在正项等比数列{an}中，若a3a5a7＝27，则log3ai＝________． 解析　因为a3a5a7＝27，所以a＝27，解得a5＝3， 所以log3ai＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a9＝log3(a1a2…a8a9)＝log3a＝log339＝9. 答案　9 8．(2022·青岛二模)将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n行共有2n－1个数，若a1＝2，且该数阵中第5行第6列的数为42，则an＝________． a1 a2　a3 a4　a5　a6　a7 …… 解析　设公差为d，因为该数阵第n行共有2n－1个数， 则前4行共有＝15个数，所以第5行第6列数为a21＝42， 则d＝＝＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n. 答案　2n 9．在等比数列{an}中，a1＝6，a2＝12－a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝66，求m. 解析　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝6，a2＝12－a3， 所以6q＝12－6q2，解得q＝－2或q＝1， 所以an＝6×(－2)n－1或an＝6. (2)①若an＝6×(－2)n－1，则Sn＝＝2[1－(－2)n]， 由Sm＝66，得2[1－(－2)m]＝66，解得m＝5. ②若an＝6，q＝1，则{an}是常数列， 所以Sm＝6m＝66，解得m＝11. 综上，m的值为5或11. B组　提升练 10．如图，方格蜘蛛网是由一组正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3∶4.现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方