第二章 第9节　函数模型及其应用-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P281] A组　保分练 1．(2022·江西中学联考)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了一组实验数据，现准备用下列四个函数近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2　　　　　　 B．y＝log2x C．y＝(x2－1) D．y＝logx 解析　根据表中数据y随x的变化趋势可得，在(0，＋∞)上，y随着x的增大而增大，且增大速度越来越快，A中函数是线性增加的，B中函数的增加速度比线性增加还要缓慢，D中函数是减函数，均不符合条件，只有C中函数符合这一变化规律，故选C. 答案　C 2．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是(　　) 解析　由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选B. 答案　B 3．(2022·沧州三模)生物入侵指生物由原生存地入侵到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成一定危害的现象．若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型K＝λln n来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q＝＋1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q＝9，T＝80.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为(ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A．6.9天 B．11.0天 C．13.8天 D．22.0天 解析　因为Q＝＋1，Q＝9，T＝80，所以9＝＋1，解得λ＝10. 设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加3倍后的时间为K2， 则K2－K1＝λln －λln n＝λln 4＝20ln 2≈13.8(天). 答案　C 4．某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要经过该装置的次数为(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析　设废水中最原始的该重金属含量为a，则经过x次该装置过滤后，该重金属含量为a·x＝a·x，根据题意知a·x<0.05a，即x<0.05，两边取常用对数得x>＝≈＝≈13.4.所以x取最小整数为14. 答案　D 5．(2022·韶关一模)某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质剩留的是原来的？(　　) (参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1) A．16 B．17 C．18 D．19 解析　设该种放射性物质初始质量为m，经过n年，剩留量变为m，则可建立模型为m·＝m，即n＝＝＝≈16， 所以大约经过16年，该物质剩留的是原来的. 答案　A 6．某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只． 解析　由题意知100＝alog2(1＋1)⇒a＝100， 当x＝7时，可得y＝100log2(7＋1)＝300. 答案　300 7．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 解析　由题意知，容积V＝(a－2x)2x＝4x3－4ax2＋a2x，0＜x＜， 则V′＝12x2－8ax＋a2＝(2x－a)(6x－a). 由V′＝0，得x＝或x＝(舍去)， 由V′＞0，得x∈； 由V′＜0，得x∈， 所以x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝a3. 答案　a3 8．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E，F分别在AB，BC边上．OA＝5 m，OC＝4 m，∠EOF＝，设CF＝x，AE＝y.则写出y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围________． 解析　因为∠EOF＝，所以∠COF＋∠AOE＝， 由题意得tan ∠COF＝，tan ∠AOE＝， 则tan ＝＝1， 化简得y＝，由0≤y≤4，得≤x≤4， 所以y关于x的函数解析式为y＝. 答案　y＝ 9．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修