第二章 第3节　函数的奇偶性与周期性-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P269] A组　保分练 1．(2022·上海松江二模)下列函数中，与函数y＝x3的奇偶性和单调性都一致的函数是(　　) A．y＝x2　　　　　 B．y＝x＋sin x C．y＝2|x| D．y＝tan x 解析　容易判断y＝x3是奇函数，且在R上是增函数，而y＝x2，y＝2|x|都是偶函数，y＝tan x在R上不是增函数，所以排除A，C，D.对B，函数y＝x＋sin x是奇函数，且y′＝1＋cos x≥0，则函数在R上是增函数．故选B. 答案　B 2．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f与f都为奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)是周期为2的周期函数 B．f(x)是周期为4的周期函数 C．f为奇函数 D．f为奇函数 解析　因为函数f(x)的定义域为R，且f与f都为奇函数，所以f＝－f，f(－x＋1)＝－f(x＋1)， 所以f(x)＝－f，f(x)＝－f， 所以f＝f，即f＝f(x)，故B正确，A错误； 因为f＝f＝f，且f为奇函数，所以f为奇函数，故D正确； 因为f与f相差1，不是最小周期的整数倍，且f为奇函数，所以f不为奇函数，故C错误． 答案　BD 3．(2022·日照模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝＋(m∈R且m≠0，e为自然对数的底数，e≈2.718 28)，则f＋f＝(　　) A．3 B．6 C．3e D．与实数m的取值有关 解析　因为f＝－，故f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝6， 故f＋f＝6，故选B. 答案　B 4．(2022·绵阳二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　) A．f<f<f B．f<f<f C．f<f<f D．f<f<f 解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f＝f(1)，f＝f， 又1<20.1<2<log25，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(1)>f>f， 即f<f<f. 答案　C 5．(2022·海口二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f＝－1，则g＝(　　) A．5 B．1 C．－1 D．－5 解析　因为g(x)的图象关于x＝2对称，则g＝|x|f是偶函数，g＝f＝|x|f， 且g＝|x|·f， 所以|x|f＝|x|f对任意的x∈R恒成立，所以f＝f， 因为f＝－1且f(x)为奇函数，所以f＝f＝f＝－f＝1， 因此g＝f＝f(1)＝1. 答案　B 6．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝____________，f(g(－2))＝________． 解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即a＝0，若x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，则g(2x)＝－(x2－2x－1)，令x＝－1，则g(－2)＝－(1＋2－1)＝－2，f(－2)＝－f(2)＝－(4＋4－1)＝－7，故f(g(－2))＝－7. 答案　0　－7 7．设函数f(x)＝＋1在x∈[－9，9]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 解析　f(x)＝＋1，其中上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，那么f(x)的最大值与最小值之和就是2×1＝2. 答案　2 8．(2022·景德镇三模)周期为4的函数f(x)满足f(x)＝f，且当x∈时f(x)＝x3－1，则不等式f(x)≤0在上的解集为________． 解析　f(x)周期是4，则f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数， x∈[0，2]时，f(x)＝x3－1是增函数，且f(1)＝0， 不等式f(x)≤0化为f(|x|)≤f(1)，所以|x|≤1，－1≤x≤1. 答案　 9．函数f(x)＝是定义在(－3，3)上的奇函数，且f(1)＝. (1)确定f(x)的解析式； (2)判断f(x)在(－3，3)上的单调性； (3)解关于t的不等式f＋f<0. 解析　(1)根据题意，函数f(x)＝是定义在(－3，3)上的奇函数， 则f(0)＝＝0，解得b＝0. 又由f(1)＝，则有f(1)＝＝，解得a＝2. 则f(x)＝. (2)由(1)的结论， f(x)＝，设－3<x1<x2<3， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝ 又由－3<x1<x2<3，则9＋x1x2>0，x1－x2<0，9－x>0，9－x>0， 则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在(－3，3)上为增函数． (3)由(1)(2)知f(x)为奇函数且在(－3，3)上为增函数. f＋f<0⇒f<－f⇒ f<f⇒ 解得－2<t<，即不等式的解集为. B组　提升练 10．(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正