第八章 第9节 第三课时　圆锥曲线中的证明、探索性问题-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P362] A组　保分练 1．(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切． (1)求C，⊙M的方程； (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由． 解析　(1)依题意设抛物线C：y2＝2px(p>0)，P(1，y0)，Q(1，－y0)， ∵OP⊥OQ，∴·＝1－y＝1－2p＝0， ∴2p＝1， 所以抛物线C的方程为y2＝x， M(0，2)，⊙M与x＝1相切，所以半径为1， 所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1. (2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)， 若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x＝1或x＝3， 若A1A2方程为x＝1，根据对称性不妨设A1(1，1)， 则过A1与圆M相切的另一条直线方程为y＝1， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意； 若A1A2方程为x＝3，根据对称性不妨设A1(3，)，A2(3，－)， 则过A1与圆M相切的直线A1A3为y－＝(x－3)， 又＝＝＝＝， ∴y3＝0，x3＝0，A3(0，0)， 此时直线A1A3，A2A3关于x轴对称， 所以直线A2A3与圆M相切； 若直线A1A2，A1A3，A2A3斜率均存在， 所以直线A1A2方程为y－y1＝(x－x1)， 整理得x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0， 同理直线A1A3的方程为x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0， 直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0， ∵A1A2与圆M相切，∴＝1， 整理得(y－1)y＋2y1y2＋3－y＝0， A1A3与圆M相切，同理(y－1)y＋2y1y3＋3－y＝0， 所以y2，y3为方程(y－1)y2＋2y1y＋3－y＝0的两根， y2＋y3＝－，y2·y3＝， M到直线A2A3的距离为：＝ ＝＝＝1， 所以直线A2A3与圆M相切； 综上，若直线A1A2，A1A3与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切． 2．(2022·邯郸一模)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且＝4. (1)求C的标准方程． (2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点． (1)解析　设抛物线C的标准方程为y2＝2px，则F. 将x＝代入y2＝2px，可得＝p，所以2p＝4，则p＝2， 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x. (2)证明　由(1)可知A，B， 设直线l1的方程为x＝my＋1，联立则y2－4my－4＝0. 设M，N， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 直线AM的方程为y＝＋2， 即y＝＋2. 令x＝－1，解得y＝； 直线BN的方程为y＝－2， 即y＝－2. 令x＝－1，解得y＝，因为＝－＝－＝1， 所以直线AM，BN和l相交于一点． B组　提升练 3．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点M(3，)是双曲线C上一点．若第一象限的点P，Q是双曲线C上不同的两点， 且＋＝＋＋8. (1)求C的离心率； (2)设A，B分别是C的左、右顶点，证明：∠PAQ＝∠PBQ. (1)解析　由题意知＋＝8，即4a＝8(双曲线的定义)，所以a＝2. 将M(3，)代入双曲线的方程得－＝1，解得b2＝4，所以c2＝a2＋b2＝8，故C的离心率e＝＝. (2)证明　由(1)可知双曲线C的方程为－＝1，A，B. 不妨设点P在Q的上方，P，Q. 则tan ∠PAB＝，tan ∠QAB＝， 又x－y＝4，x－y＝4， 所以＝，＝， 则tan ∠PAQ＝tan ＝＝＝＝. 又tan ∠PBA＝－，tan ∠QBA＝－， 所以tan ∠PBQ＝tan ＝＝ ＝， 所以tan ∠PAQ＝tan ∠PBQ. 又∠PAQ∈，∠PBQ∈， 所以∠PAQ＝∠PBQ. 4．(2022·佛山教学质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，且过点A(－2，0). (1)求椭圆C的方程； (2)点P，Q分别在C和直线x＝4上，OQ∥AP(O为坐标原点)，M为AP的中点，求证：直线OM与直线QF的交点在某定曲线上． (1)解析　依题意知A(－2，0)为椭圆C的左顶点，故a＝2，又F(1，0)为椭圆C的右焦点，所以a2－b2＝1，于是b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明　如图，设P(x0，y0)(x0≠±2)，则M， 直线AP的斜率k＝， 又OQ∥AP，所以直线OQ的方程为y＝x(两直线平行斜率相等)， 令x＝4，得y＝，即Q， 则＝，＝， ·＝＋＝.