第八章 第6节　双曲线-（课时作业）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

[对应学生用书P352] A组　保分练 1．(2022·大兴区三模)双曲线x2＋my2＝1的两条渐近线互相垂直，则m＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．－1 D．－2 解析　因为双曲线的方程为x2＋my2＝1，所以m<0，所以双曲线x2＋my2＝1的渐近线方程为y＝± x，又双曲线x2＋my2＝1的两条渐近线互相垂直，所以×＝－1，所以m＝－1，故选C. 答案　C 2．(多选)(2022·聊城一模)已知双曲线C：＋＝1(0<k<1)，则(　　) A．双曲线C的焦点在x轴上 B．双曲线C的焦距等于4 C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于 D．双曲线C的离心率的取值范围为 解析　对A：因为0<k<1，所以9－k>0，k－1<0，所以双曲线C：－＝1(0<k<1)表示焦点在x轴上的双曲线，故选项A正确； 对B：由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝， 所以双曲线C的焦距等于2c＝2(0<k<1)，故选项B错误； 对C：设焦点在x轴上的双曲线C的方程为－＝1，焦点坐标为，则渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0， 所以焦点到渐近线的距离d＝＝b， 所以双曲线C：－＝1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于，故选项C正确； 对D：双曲线C的离心率e＝＝＝，因为0<k<1，所以1<2－<，所以e＝∈，故选项D正确． 故选ACD. 答案　ACD 3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D．2 解析　因为曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以＝tan ＝，即＝，则双曲线的离心率e＝＝＝＝＝＝＝，故选C. 答案　C 4．(2021·云南检测)已知双曲线M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，点P(，1)在双曲线M的一条渐近线上．若以双曲线M的实轴为直径作圆，该圆经过点P，则双曲线M的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析　如图所示，设双曲线M的方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则点P(，1)在渐近线y＝x上，即＝，而圆的半径r＝a＝|OP|＝，故b＝a＝，所以双曲线M的方程为－＝1.故选A. 答案　A 5．(多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－1，0)，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则下列结论正确的有(　　) A．双曲线C的方程为4x2－＝1 B．双曲线C的两条渐近线所夹的锐角为60° C．F到双曲线C的渐近线的距离为 D．双曲线C的离心率为2 解析　由题意知c＝1，不妨设A，B，则△AOB的面积为×1×＝，得＝，又a2＋b2＝c2，所以a＝，b＝，所以双曲线C的方程为4x2－＝1，故A正确；双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以两条渐近线所夹的锐角为60°，故B正确；F(－1，0)到双曲线C的渐近线y＝±x的距离d均为，故C错误；双曲线C的离心率e＝＝＝2，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 6．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，写出双曲线C的一个标准方程________________． 解析　可设双曲线C的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意知b＝2a，可令a＝1，则b＝2，故双曲线C的一个标准方程为x2－＝1. 答案　x2－＝1(答案不唯一) 7．(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________． 解析　因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，要使直线y＝2x与C无公共点，则只需要2≥即可，由≤2得＝≤4，所以e2≤5，解得1<e≤. 答案　2(答案不唯一，只要1<e≤即可) 8．(2022·西宁二模)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点且＋＝8，则＝________． 解析　因为双曲线为－＝1，所以a＝2，c＝3，因为点P是双曲线左支上一点且＋＝8，所以－＝4，所以＝2，＝6，在△PF1F2中，由正弦定理可得＝，所以＝＝3. 答案　3 9．①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3＋；②C的焦距为6；③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.从以上三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：－＝1，________，求C的方程． 解析　若选①，因为m＞0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以a＝，c＝. 因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a＋c，所以＋＝(1＋)＝3＋， 解得m＝3，故C的方程为－＝1. 若选②， 若m＞0，则a2＝m