第四章 因式分解 知识点及能力提升 讲义 2022-2023学年浙教版七年级数学下册

因式分解 知识点及能力提升 4.1因式分解 【学习目标】 1. 了解因式分解的定义. 2. 掌握因式分解跟整式乘法的之间的关系和区别. 知识点一、因式分解的定义 （1）分解因式的定义： 把一个多项式化为 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． （2）因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即 运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： . 特别说明： 1. 因式分解只针对多项式，不针对单项式，是对多项式这个整体而不是部分，因式分解的结果只能是整式乘积的形式. 2. 因式分解跟整式的乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，整式的乘法是一种运算. 3. 要把多项式分解成每一个因式不能再分解为止. 4.2提取公因式法 【学习目标】 1. 掌握公因式的定义. 2. 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 3. 能熟练地运用提取公因式法进行因式分解. 知识点一、公因式的定义 (1)公因式:多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.例如ma+mb+mc这个多项式中，每一项都含有m,则m就是这个多项式中各项的多因式. （2）确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 特别说明： 1.公因式必须是每一项中都含有的因式. 2.公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. 3.公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点二、提取公因式法 把多项式ma+mb+mc分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是（a+b+c），即ma+mb+mc=m(a+b+c)，而(a+b+c)正好是ma+mb+mc除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法． 步骤（1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 特别说明： 1.提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即ma+mb+mc=m(a+b+c) . 2.用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. 3.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. 4.用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 4.3 用乘法公式分解因式 【学习目标】 1. 能运用平方差公式、完全平方公式把简单的多项式进行因式分解； 2. 会综合运用提取公因式法和平方差公式、完全平方公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯； 4.能运用平方差公式和完全平方公式的因式分解解决实际问题。 【知识要点】 知识点一、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明： 1.逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. 2.平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. 3.套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点二、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明： 1.逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； 2.完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. 3.完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. 4.套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点三、因式分解步骤 1.如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； 2.如果各项没有公因式那就尝试用公式法； 3.如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 知识点四、因式分解注意事项 1.因式分解的