精品解析：广东省惠州市2023届高三一模数学试题

惠州市2023届高三第一次模拟考试试题 数学 全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上． 2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 无穷多个 3. 数据的第15百分位数为（ ） A. 69 B. 70 C. 75 D. 96 4. 如图1，在高为的直三棱柱容器中，．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. “家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的定义域为，如果对中的任意一个，都有，且，则称函数为“类奇函数”．若某函数是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（ ） A. 若0在定义域中，则 B. 若，则 C. 若在上单调递增，则在上单调递减 D. 若定义域为，且函数也是定义域为的“类奇函数”，则函数也是“类奇函数” 二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中为真命题是（ ） A. 若随机变量服从二项分布，则 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 已知一组数据的方差是3，则的方差也是3 D. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于、两点，其中在第一象限，若，则（ ） A. B. C. 以为直径的圆与轴相切 D. 12. 在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点分别为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所在平面相交 B. 三棱锥的外接球的表面积为 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 二面角中，平面，平面为棱上不同两点，，若，，则 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=___________． 14. 过点的弦将圆的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则__________． 15. 函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为，．，若，则的值可以是__________．（写出符合条件的一个值即可） 16. 已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________．（结果用表示）． 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知． （1）当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． （2）记与面积分别为和，请求出的最大值． 19. 如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面． （1）若点是中点，求证：平面； （2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 21. 已知双曲线的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线的距离之积为