北京市北京师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

北京师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试 数 学 班级 姓名 学号 考 生 须 知 1． 本试卷有三道大题，共5页。考试时长120分钟，满分150分。 2． 考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。 3． 考试结束后，考生应将答题纸交回。 1、 选择题（每小题4分，共48分，每题均只有一个正确答案） 1. 椭圆的长轴长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 2. 抛物线的准线方程为（　　） A. B. C. D. 3. 函数在点处的导数值是(  ) A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》均有着十分丰富的内容.某中学计划将这4本专著作为高中阶段“数学文化”校本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将4门选完，则小南同学的不同选修方式有（ ）种. A． B． C． D． 6. 若…，则… （ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 7. 5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 60 D. 72 8. 若函数有极小值，则（ ） A． B． C． D． 9. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(     ) A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 10. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点M（6，4），则|PQ||PM|的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 11. 已知和是定义在R上的函数，且，则“有极值点”是“和中至少有一个函数有极值点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12. 设点A，，的坐标分别为，，动点满足：，给出下列四个结论： ① 点P的轨迹方程为； ② ； ③ 存在4个点P，使得的面积为； ④ . 则正确结论的个数是(      ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题5分，共30分） 13． 展开式的常数项是__________. 14． 若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则________. 15. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则_________. 16．已知双曲线的焦点为，，实轴长为2，则双曲线的离 心率是________；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则 的面积为________． 17. 若函数在区间上单调递增，则实数a的一个取值是__________. 18. 已知函数，给出下列四个结论： ①对任意的实数，一定有极值点； ②当时，一定存在零点； ③当时，在区间上一定有两个极值点； ④存在无数个实数k，使有最大值． 其中所有正确结论的序号是______________. 三、解答题（共5小题，共72分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程） 19. （本小题14分） 已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点. （I）求椭圆的方程； （II）求的面积. 20.（本小题14分） 已知函数． （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）求函数在区间上的最小值． 21.（本小题15分） 已知椭圆：的离心率为，且椭圆经过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，与直线交于点，设，，，求证：为定值． 22.（本小题15分）   已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求证:对任意的成立. 23.（本小题14分） 已知是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，． （Ⅰ）若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出,,,的值； （Ⅱ）设是非负整数．证明：（）的充分必要条件为是公差为的等差数列； （Ⅲ）证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为． 参考答案 一、选择题（每小题4分，共48分，每题均只有一个正确答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 10 B D B A C C A D A C D B 二、填空题（每小题5分，共30分） 13. 14.