回归方程与独立性检验讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

回归方程与独立性检验 一、变量间的相关关系--相关系数 若相应于变量的取值，变量的观测值为，则变量与的相关系数，通常用来衡量与之间的线性关系的强弱，的范围为. （1）当时，表示两个变量正相关；当时，表示两个变量负相关． （2）越接近，表示两个变量的线性相关性越强；越接近，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系．当时，所有数据点都在一条直线上． （3）通常当时，认为两个变量具有很强的线性相关关系． 公式的选择原则：若题目没有给出部分数据的整体和，则用第1组公式计算，先算减法可以使数据变小，再算乘法计算简单；若题目给出了部分数据的整体和，则用第2组公式，有时两组公式需要配合使用. 总结：相关系数是用来研究两个变量的线性相关性的强弱，只能适用于线性模型，同时越大说明的线性模型越合理。而对于非线性相关性的研究，必须先转化为线性模型之后，才能利用相关系数去判断该模型是否合理。 二、线性回归直线方程 （1）如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．回归直线对应的方程叫做回归直线方程（简称回归方程）． （2）通过求的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．该式取最小值时的，的值即分别为，. （3）设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据，直线方程，其中是待定参数． 经数学上的推导，的值由下列公式给出：． 其中，回归直线的斜率为，截距为，即回归方程为，它主要用来预测并对总体进行估计. 说明：回归方程一定通过样本点的中心，可能不经过，，…，中的任何一点． 三、非线性回归直线方程 解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将陌生的非线性回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程. 求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误. 1.建立非线性回归模型的基本步骤： （1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； （2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； （3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）； （4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； （5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； （6）消去新元，得到非线性回归方程； （7）得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 2.常见的非线性回归模型 先通过适当变换将非线性关系转化为线性关系. （1）指数函数型（且，） 两边取自然对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，. （2）对数函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，. （3）幂函数型 两边取常用对数，，即， 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，. （4）二次函数型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，. （5）反比例函数型型 令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，. 总结：非线性模型转换到线性模型的最关键点，在于构造出中的常数，指数和幂函数可以通过取对数的方法构造常数。之后如果含的项不是一次式，可以通过整体换元的方法构造出中的一次项。 四、独立性检验 1．分类变量和列联表 （1）分类变量： 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． （2）列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表． ②2×2列联表． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为 总计 总计 从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系． 2．独立性检验 （1）定义：利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验． （2）公式：，其中为样本容量． （3）独立性检验的具体步骤如下： ①计算随机变量的观测值，查下表确定临界值： 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ②如果，就推断“与有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下