精品解析：广东省广州市真光中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

广州市真光中学2022年第二学期期中考试 高一数学试卷 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ） A. 若，且与同向，则 B. C. D. 3. 某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上 A 快、新、乐 B. 乐、新、快 C. 新、乐、快 D. 乐、快、新 4. 下列命题正确的个数是（ ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内有任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为 A. 1 B. C. 1或 D. -1或 6. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ） A. 6π B. 30π C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小朋5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 设为复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最小值为 D. 若，则 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B 若，，，则必有两解 C. 若，，则角B的大小为 D. 若，则为锐角三角形 11. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 正方体 12. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量，且，则为等边三角形 B. 已知，且四边形为平行四边形，则 C. 已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1 D. 已知向量，则与夹角的范围是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知复数满足，则 _________________； 14. 如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，最小值为___________. 15. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________. 16. 已知矩形，沿将折起成.若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是___________. 三、解答题，本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 已知 （1）判断A，B，C三点之间的位置关系； （2）当为何值时，与垂直． 18. 设是虚数，且满足. （1）求的值及的实部的取值范围； （2）设，求证：为纯虚数； （3）求的最小值. 19. 如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面．制作时需要将圆锥的顶点剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为． （1）求这种“笼具”的体积； （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元? 20. 若函数，的角，，的对边分别为，，，且. （1）当取最大值时，判断的形状； （2）在中，为边的中点，且，，求的长. 21. 在中，满足，M是中点． （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值． 22. 在气象台A正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地