2023年九年级数学中考复习 四边形

2023九年级数学中考复习 四边形 1．（2023•碑林区校级四模）问题发现 （1）如图1，已知正方形，为边上一点（不与端点重合），以为一边作正方形，连接，，，若，则的面积为 　　； 问题解决 （2）如图2，已知有一四边形场地，，，测得米，现在需要修建一块三角形区域为休闲区，其中为的中点，且于点，问三角形地块的面积能否取到最小值？若能，请求出这个最小值；若不能，试说明理由． 2．（2023春•番禺区月考）如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，延长交于点，若的边长为2；①求的最小值；②求的最大值． 3．（2023春•东莞市校级期中）如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，． （1）求证：平行且等于； （2）求证：四边形是矩形； （3）若，，，求的长． 4．（2023•香坊区一模）四边形中，为对角线，，，． （1）如图1，求证：四边形为矩形． （2）如图2，点、分别为、边的中点，连接、分别交于点、，连接，在不添加辅助线的情况下，直接写出面积是面积2倍的三角形． 5．（2023•香洲区校级一模）如图，矩形中，．是边上一动点（不与点重合），延长到，使，，交于点，连接并延长交于点． （1）若，求证：； （2）探究：当点运动时，点的位置是否发生变化？请说明理由． 6．（2023春•鼓楼区期中）已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作，交延长线于点． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的面积； （3）求证：． 7．（2023春•顺庆区校级月考）如图，在矩形中，平分，交于点，点是上的一点，连接，，且．过点作于，延长线交于，过点作于． （1）如图1，①若，，求线段的长；②求证：； （2）如图2，过点作于，当时，若，求的长． 8．（2023•青岛模拟）如图，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点作交于点，连接，交于点．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式． （3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．（2022•衢州）如图，在菱形中，，为对角线．点是边延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点． （1）求证：． （2）若，． ①求菱形的面积． ②求的值． （3）若，当的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值． 答案版： 1. 【解答】解：（1）如图1，连接， 四边形和四边形均为正方形， ， ， ， 故答案为：8； （2）如图2，连接、、， ， 、、、四点共圆，即点在以的中点为圆心，为直径的圆上运动， ， 点在以的中点为圆心，为直径的圆上运动， ， ， 当取得最小值时，取得最小值， 是定值，则当到的距离最小时，取最小值， 当点与点重合时，点到的距离取得最小值， 又四边形，点与不能重合， 不能取最小值， 不存在最小值． 2. 【解答】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）解：①， ， 点在以为直径的圆上运动， 连接，与相交于点，此时最小， 为等边三角形，为直径， ， 根据勾股定理可得：， ． ②如图，过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， 由（1）可得， ， ， ， ， ，且，， ， ，即点是中点， 连接， 是等边三角形， ， ， ， 点，点，点，点四点在以为直径的圆上， 最大为直径，即最大值为2． 3． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， 即平行且等于； （2）证明：由（1）知，，； 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 是直角三角形，， 的面积， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，． 4． 【解答】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：，， ，， 点、分别为、边的中点，，， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 面积是面积2倍的三角形有、、、． 5． 【解答】（1）证明：四边形是矩形，， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：点的位置不会发生变化， 理由：， ， 四边形是矩形， ， ，， 又，， ，， ，， ，即， ， ， 点的位置不会发生变化． 6． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）平分， ， ， ， ，且， ， ，