精品解析：四川省德阳市2023届高三下学期4月三诊考试理科数学试题

德阳市高中2020级“三诊”考试 数学试卷（理工农医类） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知互相垂直平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则 A. m∥l B. m∥n C. n⊥l D. m⊥n 4. 已知，q：任意，则p是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格低于均衡价格时，需求量大于供应量，价格会上升为；当产品价格高于均衡价格时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格．能正确表示上述供求关系的图形是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（ ） A. B. C. D. 不确定的实数 7. 函数（）的部分图象如图所示，其中两点之间的距离为5，则的递增区间是 A. B. C. D. 8. 设x，y满足约束条件则的最大值是（ ） A. -3 B. -6 C. -7 D. 12 9. 已知D为正三角形ABC中边BC的中点，E在线段AC上且，若AD与BE交于M，若，则正三角形ABC的边长为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 10. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线对应的直线方程为x+y=2，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 11. 已知实数x、y满足，则x、y的大小关系为（ ） A. B. C. D. 12. 已知、为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点，，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上． 13. 已知的展开式中x的系数为2，则实数a的值为_________． 14. 设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于，两点，又知点恰为的中点，则_________ 15. 已知的外接圆O的半径为1，．从圆O内随机取一点M，若点M在内的概率恰为，则的周长为________． 16. 如图所示，一个正四棱锥和一个正三棱锥所有棱长都相等，F为棱的中点，将和，和，和分别对应重合为P，B，C得到一个组合体．关于该组合体有如下三个结论：①AD⊥SP；②直线AD与直线SF所成角为60°；③．其中正确结论的个数是________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列是等差数列，且满足，．数列的前n项和是，且． （1）求数列及数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 某学校高二年级某学科的教师决定帮助本年级100名对该科学习困难的学生.为了做到精准帮助，教师对这100名学生的学习兴趣、学习态度、学习习惯等进行调查，并把调查结果转化为各学生的学困指标x，将指标x分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该生为“绝对学困生”，否则认定该生为“相对学困生”；当时，认定该生为“亟待帮助生”. （1）分别求出“绝对学困生”，“亟待帮助生”人数；并求学困指标的平均值. （2）在学困指标处于内的学困生中，随机选取两名，用X表示所选两名学生中“亟待帮助生”的人数，求X的分布列和数学期望. 19. 如图，在中，，PAB边上一动点，交AC于点D，现将沿PD翻折至． （1）沿PD翻折中是否会改变二面角的大小，并说明理由； （2）若PB=CB=2PD=2，E是的中点．求证：平面，并求当平面平面P