江西省大余中学2022-2023学年高二下学期4月期中考试数学试题

2022—2023学年度下学期期中考试高二数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1．在的二项展开式中，若二项式系数和为64，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．7 C．9 D．12 4．已知A学校有个数学老师，其中个男老师，个女老师，学校有个数学老师，其中3个男老师，7个女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一个数学老师到学校，然后从学校任意抽取一个数学老师到县里上公开课，则两次都抽到男老师的的概率是 A． B． C． D． 5．下列四个命题中，正确的有（    ） ①随机变量服从正态分布，则 ②， ③命题“，”的否定是“，” ④复数，若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知函数，若函数的极小值为0，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分） 9．在等差数列中，其前的和是，若，，则（    ） A．是递增数列 B．其通项公式是 C．当取最小值时，的值只能是 D．的最小值是 10．已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（      ） A． B．二项式系数之和为64 C．展开式中的常数项为15 D．将展开式中的各项重新随机排列，有理项相邻的概率为 11．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上，则称函数在区间上为“凸函数”．已知在上为“凸函数”则实数m的取值范围的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，当时，，则（    ） A．是偶函数 B． C．当，是锐角的内角时， D．当，且，时， 三、填空题（共20分） 13．设函数在处的导数为2，则__________. 14．袋子中有7个大小相同的小球，其中4个红球，3个黄球，每次从袋子中随机摸出1个小球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是___________. 15．数列的首项为，且，记为数列前n项和，则________. 16．已知函数在定义域R上可导，且，则关于的不等式的解集为______. 四、解答题（共70分） 17．已知函数. （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的极大值与极小值. 18．已知数列满足：，，. (1)记，求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 19．如图，在四棱锥中，棱底面，且，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 20．已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点. 若，求的值； 点，若，求直线的方程. 21．设数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，若对任意的正整数，恒有，求实数的取值范围． 22．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围； (3)当时，令，记的唯一零点为，若，证明：． 1．C 由的二项展开式中二项式系数和为64， 可得，解之得 故选：C 2．A 因为，故可得， 根据题意，在恒成立，即在恒成立， 又在的最大值为，故. 故选：A. 3．C 由题意，根据等差数列的性质，，， 故，. 故选：C. 4．B A学校任意抽取一个数学老师到B学校，抽到男老师的的概率是 ， 然后从B学校任意抽取一个老师，抽到男老师的的概率是 , 两个事件同时发生的概率是： ， 故选:B 5．B ①因为与关于对称，故正确； ②因为，故错误； ③因为命题“，”是全称命题，所以其否定是“，”，故正确； ④当，时，，故错误； 故选：B. 6．A 因为 ,所以，因为必有极值点，所以，令得， 或时，，时，， 在与上单调递增，在上单调递减， 所以极小值点为，由，解得， 故选：A． 7．B 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 设PA、PB是过点P圆的两切线，且A、B为切点，如图， 显然，当PM，PN为两切线时取等号； 因为PA、PB是过点P圆的两切线，所以，， 由圆的对称性易得，显然是锐角， 在中，， 又，所以， 所以，∴． 故选：B． . 8．C 时，，，不合题意，故， ，函数定义域为，， ，， 相同切线的位置上，设的切点坐标为，的切点坐标为， 则有，即， 公切线方程为 代入，得，即，整理得， 若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则方程有两个不同的实数根， 设，则， ，