江西省大余中学2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题

2022—2023学年度下学期期中考试高一数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．任意两个单位向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 2．设，则的一个可能值是（    ） A． B．1 C． D． 3．，，，则（    ） A．1 B． C． D． 4．已知函数 ，若函数是周期为的偶函数，则可以是 A． B． C． D． 5．下列化简结果正确的个数为（    ） ①        ② ③                    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．关于给出下列命题： ①若，则该三角形为等腰三角形 ②若，则是等腰三角形 ③若，则是直角三角形 ④在中，恒有 ⑤若，则是等边三角形 其中正确命题的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．已知函数的两条相邻的对称轴的间距为，现将的图象向左平移个单位后得到一个偶函数，则的一个可能取值为（    ） A． B． C． D． 8．已知是函数的最大值，若存在实数、使得对任意实数总有成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分） 9．将的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度得到的图象（    ） A．若为奇函数，则的值可能为 B．若为奇函数，则的值可能为 C．若为偶函数，则的值可能为 D．若为偶函数，则的值可能为 10．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．由可得是的整数倍 B．函数为偶函数 C．函数在上为减函数 D．函数在区间上有20个零点 11．在单位圆上任取一点，圆与轴正向的交点是，设将绕原点逆时针旋转到所成的角为，记关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，是奇函数 B．在为增函数，在为减函数 C．对于恒成立 D．函数对于恒成立 12．2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．在区间上单调 三、填空题（共20分） 13．平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则__________. 14．计算__________． 15．在平面直角坐标系中，点是单位圆上第一象限内的点，，若，则的值为______． 16．已知（且），若时，有唯一解，则__________． 四、解答题（共70分） 17．（1）若，求的值； （2）计算：． 18．已知， (1)化简； (2)已知，求的值. 19．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求函数的值域和单调区间. 20．已知函数． （1）当时，求的最小正周期及单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 21．如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角为45°（即），已知两座高塔的高AD为30m，BC为75m，塔底A，B在同一水平面上，且，． (1)求两座高塔底部A，B之间的距离； (2)为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠DPC最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？ 22．已知函数. （1）若函数的最大值是最小值的倍，求实数的值； （2）若函数存在零点，求函数的零点. 1-8 BDADC BBD 9 BC 10 BCD 11 AC 12 BC 13． 因为平面向量与的夹角为，且，为单位向量， 所以 ， 故答案为： 14．/ . 故答案为： 15． 由三角函数的定义有，为第二象限角 ，， 故答案为：. 16．-5 根据，所以， 因为有唯一解，所以，解得， 当，，则或， 解得或，因为，可得或不唯一，舍去； 当，，则或， 解得或，因为，可得唯一； 当，，则或， 解得或，因为，可得无解，舍去； 当，，则或， 解得或，因为，可得无解，舍去； 当，，则或， 解得或，因为，可得无解，舍去； 当，，则或， 解得或，因为，可得无解，舍去； 综上所述，的值为-5. 故答案为：-5. 17．（1）；（2） 解：（1）因为， 所以； （2）． 18．(1) (2) (1) ; (2) 由， 可得：， 故. 19．(1)； (2)值域是，递增区间是，递减区间是. （1）依题意，，