宁夏银川一中2022-2023学年高二下学期期中考试数学(理)试题

银川一中2022/2023学年度(下)高二期中考试 数学(理科)试卷 命题教师： 一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，将曲线按伸缩变换后为（    ） A． B． C． D． 3．如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用时间为 T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数的图像大 致是（    ） A． B． C． D． 4．下列以t为参数的参数方程中，其表示的曲线与方程表示的曲线完全一致的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 6．在极坐标系中，曲线关于（    ） A．直线轴对称 B．直线轴对称 C．点中心对称 D．极点中心对称 7．如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶 点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长 为（    ） A． B．2 C． D． 8．函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．O，P，B，C四点共面 C．P，A，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 10．已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为， 上的点，且，则（    ） A． B． C． D．1 11．函数定义在上，是它的导函数，且在定义域内恒成立，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．如图抛物线的方程是，则阴影部分的面积是_______. 14．在三棱锥中，平面平面，若棱长 ，且， 则点到平面的距离为________． 15．已知向量的夹角为的单位向量，若对任意的，且，，则的取值范围是__________． 16．如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论：     ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 三、解答题:(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分) 已知函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)讨论函数单调性． 18．(本小题满分12分) 在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的极坐标方程； （2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为O和，与曲线的交点为，求的面积. 19．(本小题满分12分) 在中，，过点作，交线段于点（如图1），沿将折起，使（如图2），点分别为棱的中点. (1)求证：； (2)在①图1中，②图1中，③图2中三棱锥的体积最大. 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题. 问题：已知__________，试在棱上确定一点，使得，并求平面与平面的夹角的余弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20．(本小题满分12分) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 (1)求曲线和曲线的直角坐标方程; (2)若曲线和曲线交于、两点，且点，求的值. 21．(本小题满分12分) 在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段，上，二面角的大小为. (1)若，，，证明：平面； (2)若，点为上的动点，点为的中点，求与平 面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值. 22．(本小题满分12分) 已知. (1)求函数的最小值； (2)若存在，使成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切，都有成立． 答案第10页，共11页 高二期中数学(理科)试卷 第1页(共2页) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期中考试数学（理科）试题（参考答案）(2023下) 1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．B 7．D 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A【详解】因为， 所以，. 令，，则， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以. 因为在上单调递增，所以； 令，则恒成立， 所以，在R上单调递减， 所以，当时，有，即， 所以. 因为， 所以， 所以. 所以. 故选：A． 13．2 14． 15． 【分析】利用向量的数量积计算公式，求得，根据题