第10讲 新高考新定义 开放性和探究专题-2023届高考数学《考点·题型·密卷》三轮冲刺精讲精练（新高考地区专用）

第10讲：新高考新定义 开放性和探究专题 题型一：数列新题型 1．（2023·河北张家口·统考二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：.数列满足，其前项和为，则（    ） A．1024 B．2048 C．1023 D．2047 【答案】C 【分析】根据欧拉函数的定义可求出，再由等比数列的前项和公式即可求出答案. 【详解】根据欧拉函数的定义可得， 一般地，.事实上，表示从1到的正整数中，与互质的正整数的个数， 相当于去掉从1到的正整数中所有2的倍数的个数（共个数）， 因此，.所以，. 故选：C. 2．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，得到为等比数列，求得，结合，进而求得的值． 【详解】由题意，数列1，1，2，8，64，…为，且为一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，，公比为， 所以，则， 所以第8项为． 故选：C. 3．（2023·上海黄浦·统考二模）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题 【答案】C 【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答. 【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意， 当时，， 函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴， 存在，使得，取不小于的正整数，则有， 即，不符合题意，综上得①为假命题； 等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即， ，于是， 依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是， 因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题， 判断正确的是①为假命题，②为真命题. 故选：C 【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 题型二：立体几何新定义 4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果. 【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶点， 因此，该正八面体的总曲率为. 故选：B. 5．（2021·全国·统考模拟预测）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（    ） A． B．600 C． D． 【答案】C 【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果. 【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为的圆弧构成，所以该零件底面周长为，故其侧面积为． 故选：C. 6．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等