2023年九年级数学中考复习 专题22 几何最值问题讲义

2023年中考数学热点复习精讲【全国通用】 第二十二讲 几何最值问题 【命题趋势】 在中考数学中,几何最值问题的考察,在小题中通常是选择或者填空题的压轴问题;在解答题中偶尔也会作为压轴题中的第2个小问题出,难度比较大,是对学生探究能力的综合考察。 【题型总结】 几何最值常见结合模型:将军饮马、胡不归、阿氏圆、瓜豆原理、四点共圆等构造辅助圆方法;【满分技巧】 几何最值问题基本原理 1.定点到定点——两点之间,线段最短; 数学定理联系: ①三角形两边之和>第三边 故三点共线时PA+PB的值最小=AB ②首尾相连的两折图、三折图 也是当三点(或四点)共线时有最小值 2. 定点到定线——点线之间,垂线段最短; 数学定理联系: ①两平行线间的距离处处相等O P H Q 故平行线之间,垂线段最短 ②圆上一点到圆外定直线上一点中,垂线段最短 (如图:则PH即为圆O上的点到直线L的最小值;QH为最大值) 3.定点到定圆——点圆之间,点心线截距最短(长) 数学定理联系: 圆和圆外定点的最值问题 (如图:则AP最小值=OA-r;AP最大值=OA+r) 【模拟检测】 1.(2022·广东深圳·深圳市宝安中学(集团)校考模拟预测)若任意两个正数的和为定值,则它们的乘积会如何变化呢?会不会存在最大值? 特例研究:若两个正数的和是1,那么这两个正数可以是:和,和,和,… 由于这样的正数有很多,我们不妨设其中一个正数是,另外一个正数为,那么,则,所以,,可以看出两数的乘积是的二次函数,乘积的最大值转化为求关于的二次函数的最值问题. 方法迁移: (1)若两个正数和的和是6,其中一个正数为,这两个正数的乘积为,写出与的函数关系式,并画出函数图像. (2)在(1)的条件下,的最大值为:_,并写出此时函数图像的至少一个性质. (3)问题解决: 由以上题目可知若任意两个正数的和是一个固定的数,那么这两个正数的乘积存在最大值,即对于正数x,y,若x+y是定值,则xy存在最大值. 类比应用: 利用上面所得到的结论,完成填空: ①已知函数与函数,则当x= 时,取得最大值为 ; ②已知函数y1=2x-2+m(x≥1),m为正定值,函数y2=-2x+8(x<4),则当x为何值时,取得最大值,最大值是多少? 2.(2022·湖北鄂州·统考二模)通过构造恰当的图形,可以对线段长度、图形面积大小等进行比较,直观地得到一些不等关系或最值,这是“数形结合”思想的典型应用. 【理解应用】如图1,AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分别为C,D,E是AB的中点,连接CE.已知AD=a,BD=b(0<a<b). (1)线段CE= ,CD= (用含a,b的代数式表示; (2)比较大小:CD CE(填“”、“”或“”),并用含a,b的代数式表示该大小关系为 ; 【拓展应用】如图2,在平面直角坐标系xOy中,点M,N在反比例函数的图象上,横坐标分别为m,n.设p=m+n,,记 . (3)当m=1,n=4时,l = ;当m=3,n=3时,l = ; (4)通过归纳猜想,可得l的最小值是 .请利用图2构造恰当的图形,说明你的猜想成立. 3.(2022·四川达州·四川省渠县中学校考二模)小明在一次数学活动中,进行了如下的探究活动:如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,以点B为中心,顺时针旋转矩形ABCD,得到矩形BEFG,点A、D、C的对应点分别为E、F、G. (1)如图1,当点E落在CD边上时,求DE的长; (2)如图2,当点E落在线段DF上时,BE与CD交于点H. ①求证:△ABD≌△EBD;②求DH的长. (3)如图3,若矩形ABCD对角线ACBD相交于点P,连接PE、PF,记△PEF面积为S,请直接写出S的最值. 4.(2022·安徽合肥·统考一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x-2ax+a-2与x轴交点为A、B, (1)判断点(,-)是否在抛物线y=x-2ax+a-2上,并说明理由; (2)当线段AB长度为4时,求a的值; (3)若w= AB,w是否存在最值,若存在,请求出最值,若不存在,请说明由; 5.(2022·陕西西安·校考一模)(1)如图1,菱形中,,,点,分别为边,上的动点,且,则四边形的面积为_; (2)如图2,平行四边形中,,,,点,分别为边,上的动点,且,则四边形的面积是否为定值?若是,求出定值;若不是,请求出最值; (3)如图3,四边形中,,,,,点,分别为边,上的动点,且,是否存在,,使得四边形面积最大且的周长最小?若存在,求出的周长最小值;若不存在,请说明理由. 6.(2022·河北保定·统考一模)[问题提出] 初中数学的学习中,我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识……常可利用它们来解决“最值问题”. [简单运用] (1)如图1,在△ABC中,AB=