素养拓展2 不等式中的恒成立问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展02 不等式中的恒成立问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！ 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若 有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】 （1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 2.分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 3.其他恒成立类型一 ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法) 4.其他恒成立类型二 ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 5.其他恒成立类型三 ①，； ②，； ③，； ④，． 【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数． 思考：对的四种取值情形；或；或等又如何处理呢？【同理！】 二、题型精讲精练 【典例1】正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范围. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 由，， 可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得.所以的取值范围为. 故答案为：. 【典例2】已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的解集为知可用表示，代入中并用参数分离与基本不等式求得的取值范围. 【详解】由不等式的解集为，可知为方程的两个根， 故且，即， 则不等式变为， 由于，则上式可转化为在恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 故.故选：B. 【题型训练】 1.基本不等式恒成立问题 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．} C． D． 4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 5．（2023·全国·高三专题练习）当不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （  ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的值可以为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 12．（2023·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 三、填空题 13．（2023·全国·高三专题练习），，且恒成立，则的最大值为__． 14．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________． 15．（2023·全国·高三专题练习