素养拓展1 柯西不等式（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展01 柯西不等式（精讲+精练） 一、知识点梳理 1.二维形式的柯西不等式 2.二维形式的柯西不等式的变式 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了。 4.扩展：，当且仅当时，等号成立. 二、题型精讲精练 【典例1】实数x、y满足，则x+y的最大值是________. 解：，则 所以，当且仅当时等号成立. 答案： 【典例2】（2019·全国高考真题）设，且. （1）求的最小值； （2）若成立，证明：或. 【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围. 【详解】(1) 故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立，所以的最小值为. (2)因为，所以. 根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立. 所以成立，所以有或. 【题型训练1-刷真题】 一、填空题 1．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________. 二、解答题 2．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则． 【题型训练2-刷模拟】 1．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y、z满足（a为常数），求的最小值． 2．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知，且满足，求的最小值． 3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知a，b，c是正实数，且．求证： (1)； (2)． 4．（2023·江西吉安·统考一模）已均为正数，且，证明： (1)； (2)． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知均为正数，且满足.证明： (1)； (2). 6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设为正数，且. (1)证明； (2)证明. 7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知，且，证明： (1)； (2)若，则. 二、单选题 8．（2023·全国·高三专题练习）“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（　　） A． B． C． D． 9．（2023·浙江·统考一模）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 三、填空题 10．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为_________． 11．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则的范围是______________． 12．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展01 柯西不等式（精讲+精练） 一、知识点梳理 1.二维形式的柯西不等式 2.二维形式的柯西不等式的变式 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了。 4.扩展：，当且仅当时，等号成立. 二、题型精讲精练 【题型训练1-刷真题】 一、填空题 1．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影， 即, 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 二、解答题 2．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证； （2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证. 【详解】（