2023年九年级数学中考复习 圆的综合（四）

2023九年级数学中考复习 圆的综合（四） 1．如图，弦与相交于内一点，． （1）试说明：； （2）设，，，求、的长． 2．如图，的直径的长为2，点在圆周上，．点是圆上一动点，交的延长线于点，连接，交于点． （1）如图1，当与相切时，求的度数； （2）如图2，当点是的中点时，求的面积． 3．已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连结． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，若，，求的半径和的长． 4．如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 5．如图，是的直径，点在上，过点作射线且满足． （1）判断与的位置关系，并证明； （2）延长到，使，连接与交于点，若的半径为3，，求的外接圆的半径．　 　． 6．如图，是的直径，弦于点，点在上，且，弦与交于点 （1）求证：； （2）若，，求的直径． 7．如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于． （1）求证：与相切； （2）若，．求的半径和的长度． 8．如图，在中，．以为直径的与相切于，交于点，的延长线交于点，过点作弦，垂足为点． （1）求证：①，②； （2）若，求的长． 9．如图，是的直径，是弦，过点作于交于，在的延长线上取一点，使，与交于． （1）判断直线与的位置关系，并给出证明； （2）当的半径是5，，时，求及的长． 10．如图，中，，为上一点，以为直径的交于点，连接交于点，交于点，连接，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 11．如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，，垂足为． （1）求证：． （2）若的半径为4，，，求． 12．如图，直角坐标系中，已知两点，，点在第一象限且为正三角形．的外接圆交轴的正半轴于点． （1）点的坐标是　　，点的坐标是　　； （2）过点的圆的切线交轴于点，则图中阴影部分的面积是　　； （3）若于点，点在线段上．点在轴的正半轴上，，与交于点． ①当为等腰三角形时，求点的坐标； ②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论． 13．如图，的圆心在的直角边上，经过、两点，与斜边交于点，连接、，有，作弦于，连接． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 答案版 1． 【解答】（1）证明：由圆周角定理得，，， ； （2）解：由相交弦定理得到，，即， 解得，或6， 则或2， 或6，或2． 2． 【解答】解：（1）如图：连接 与相切 （2）如图：连接 是直径，点是的中点 ，， ， ，， ，， ，点为的中点， ，为的中位线， ， 3． 【解答】（1）证明：平分， ， 与都是弧所对的圆周角， ， ， 是的直径，， ， ，， ， ， ； （2）证明：为直径， ， 于， ， ， 又， ， ； （3）解：连接， ， ， ，， ， ， 故的半径为2.5， ， ， ． 即的长为2.4． 4． 【解答】（1）证明：连接． ，，， ， ， ， 是的切线． （2）解：设的半径为． 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 5． 【解答】（1）证明：如图，连接 为的直径， ， ， 又，， ， 是的切线； （2）解：， ， 又， ， 是直角三角形， 的外接圆的直径是， 又，， ， ， 的半径为3， ， ， ， ， ， 的外接圆的半径为． 故答案为：． 6． 【解答】（1）证明：，，，． （2）解：如图：连接，设圆的半径为，在中， ，，，， 解方程得：． 所以的直径为26． 7 【解答】（1）证明：连接； ， ， ； 又， ， 是的切线． （2）解：设的半径为，则，，， 在中，， ，解得， 作于，如图，， 则， ， ， 在中，， ， ． 8． 【解答】（1）证明：①连接． 是的切线， ， ， ． ②，， ， ， 是直径， ， ， ． （2）解：， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 9． 【解答】解：（1）是的切线；理由如下： 与都对， ， ， ， 在中，， ，即， ， 是的切线； （2），， ， ，即， 解得：； 连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ． 10． 【解答】解：（1）是切线． 理由：连接、． 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是切线． 解法二：，， ， 弧弧， ， 又， ， 即， 是圆切线 （2），， ， ， ，设．则， ， ， ， 则． 11． 【解答】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：，， ， ，即， 解得：， 由（1）得：， ， ． 12． 【解答】解：（1）过点作的垂线，垂足为， ，，， 设点坐标为，则， ，（1分） 连接， 则，， ， ． 故答案为，． （2）， 为直径， 又为圆的切线，， ， ， 是的直径，为