第三章 圆 专项拓展训练（三） 2022-2023学年北师大版九年级数学下册

《第三章　圆》专项拓展训练（三） 专项 与圆的性质有关的辅助线作法 类型1 与垂径定理有关的辅助线作法 1. [2021广州番禺区期中]如图,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 (　　) A. B.2 C.3 D.2 2. [2022龙岩期中]如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=3,BP=7,∠APC=30°,则CD的长为 (　　) A. B.2 C.4 D.8 3. [2022上饶期中]如图是某蔬菜基地搭建的一座圆弧形蔬菜棚,跨度AB=3.2米,拱高CD=0.8米(C为AB的中点,D为的中点). (1)求该圆弧所在圆的半径; (2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF,求支撑杆EF的高度. 类型2 与等弧有关的辅助线作法 4. 如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,=,若∠AOB=58°,则∠BDC的度数为(　　) A.29° B.58° C.116° D.120° 5. [2022保定期中]如图,四边形ABDC内接于☉O,∠BAC=60°,AD平分∠BAC,连接OB,OC. (1)求证:四边形OBDC是菱形. (2)若∠ABO=15°,OB=2,求AC的长. 类型3 与直径有关的辅助线作法 6. 如图,AB 是☉O 的直径,点C,D,E 在☉O 上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为 (　　) A.100° B.110° C.115° D.120° 7. 如图,BC是半圆O的直径,D,E是上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE.如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为(　　) A.35° B.38° C.40° D.42° 8. 如图,AB为☉O的直径,AB=AC,BC,AC分别交☉O于点D,E. (1)求证:BD=DE=DC. (2)若DE=,AB=5,求AE的长. 类型4 与圆周角有关的辅助线作法 9. 如图,点B,C,D在☉O上,若∠BCD=110°,则∠BOD的度数是 (　　) A.140° B.110° C.100° D.70° 10. 如图,在☉O中,半径OA与弦BD垂直,点C在☉O上,∠AOB=80°. (1)若点C在优弧BD上,则∠ACD的大小为　　　　;  (2)若点C在劣弧BD上,则∠ACD的大小为　　　　.  11. 如图,在☉O中,弦AC⊥BD于点E,连接AB,CD,BC,OA,OB,OC,OD. (1)求证:∠AOB+∠COD=180°. (2)若AB=8,CD=6,求☉O的直径. 参考答案 1. D　如图,过点O作OD⊥AB于点D,连接OA.根据题意,得AD=BD,OD=OA=1.在Rt△AOD中,由勾股定理,得AD===,所以AB=2AD=2. 2. C　如图,过点O作OH⊥CD于点H,连接OD,∵AP=3,BP=7,∴AB=10,∴OA=OD=5,∴OP=2.∵OH⊥CD,∴CH=DH.在Rt△OPH中,∠OPH=∠APC=30°,∴OH=OP=1.在Rt△ODH中,由勾股定理,得DH===2,∴CD=2DH=4. 3. 解:(1)设所在圆的圆心为O, 由题意,知D为的中点,CD⊥AB. 如图,延长DC经过点O,连接OB, 则BC=AB=1.6米. 设☉O的半径为r米, 在Rt△OBC中,OB2=OC2+CB2, ∴r2=(r-0.8)2+1.62,解得r=2, 故该圆弧所在圆的半径为2米. (2)如图,过点O作OH⊥FE,交FE的延长线于点H,连接OF,则OH=CE=BC-BE=1.2米,OF=2米, 在Rt△OHF中,HF===1.6(米). ∵HE=OC=OD-CD=1.2米, ∴EF=HF-HE=0.4米, 故支撑杆EF的高度为0.4米. 4. A　如图,连接OC,∵=,∴∠BOC=∠AOB=58°,∴∠BDC=∠BOC=29°. 5. (1)证明:如图,连接OD, ∵∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∴=,∴∠BOD=∠COD=60°. ∵OB=OD,OC=OD, ∴△BOD和△COD都是等边三角形, ∴OB=BD=DC=OC, ∴四边形OBDC是菱形. (2)解:如图,连接OA, ∵OB=OA,∠ABO=15°,∴∠AOB=150°. 由(1)知∠BOD=∠COD=60°, ∴∠AOC=360°-150°-60°-60°=90°. 在Rt△AOC中,OA=OC=2, ∴AC==2. 6. B　连接AC.∵∠AED=20°,∴∠ACD=20°.∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCD=90°+20°=110°. 7. C　如图,连接CD,∵BC是半圆O的直径,∴∠BDC=90°,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=90