专题11 对数与对数函数-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题11对数与对数函数 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：对数的化简与求值 题型二：对数函数的图象及应用 题型三：对数型复合函数的综合问题 题型四：比较指数式、对数式大小 题型五：解对数方程、不等式 题型六：对数函数性质的综合应用 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数. 【考点预测】 1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换. 【常用结论】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数. 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 【方法技巧】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 6.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 二、【题型归类】 【题型一】对数的化简与求值 【典例1】(1)计算log535＋2log－log5－log514的值． (2)计算(log2125＋log425＋log85)(log1258＋log254＋log52)的值． (3)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则＋的最小值为________． 【解析】(1)原式＝log5＋2log2＝log553－1＝2. (2)原式＝(log52＋log52＋log52)＝log25×3log52＝13. (3)因为x，y，z均为大于1的实数，所以lgx>0，lgy>0，lgz>0，又由z为x和y的等比中项，可得z2＝xy.＋＝lgz×＝lgxy×＝＝≥＝.故填. 【典例2】(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值； (2)计算(log32＋log92)(log43＋log83)的值； (3)设函数f