专题9.4 四边形中的线段最值问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题9.4 四边形中的线段最值问题 【典例1】如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为． （1）如图，连接交于点，若，求的长； （2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足， ①连接，，判断，的数量关系并说明理由； ②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ． 【思路点拨】 （1）如图1，过点作于点，先根据正方形性质和三角形内角和定理得出：，，设，则，运用勾股定理即可求出答案； （2）①如图2，过点作于点，设，则，运用勾股定理即可证得结论； ②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，先证得，再证得四边形是平行四边形，得出当、、三点共线时，最小，故当、、三点共线时，最小，即最小，再运用勾股定理计算即可． 【解题过程】 解：（1）如图1，过点作于点， 四边形是边长为2的正方形， ，，， ， ， ， ， ，即， ， 又，， ，， ，， 设，则， 由勾股定理得， 又， ， ，即， ， 中，， 由勾股定理得：； （2）①，理由如下： 如图2，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， 四边形是边长为2的正方形，点在的延长线上， ， 在和中，， 分别由勾股定理得： ，， ， ； ②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于， ，为中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， 当、、三点共线时，最小， 当、、三点共线时，最小， 即最小， 此时，，， ， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 1．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，菱形中，，，点、、分别为线段、、上的任意一点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图：是边长为1的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点N、O、P、M分别是边AB、BC、CD、DA上的点(不与端点重合)，若AN=CP，BO=DM，且AB=2BC=2，则四边形MNOP周长的最小值等于（    ） A．2 B．2 C． D． 4．（2022秋·重庆大渡口·九年级重庆市第三十七中学校校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．20 5．（2023·山西朔州·统考一模）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为______． 7．（2021春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AD=2AB，AB=8，E为AD的中点，点M为边CD上一动点，，EN平分∠PEM，过点P作垂足为G，取EM的中点K，连接DK，KG，则DK+KG+PG的最小值为 _____． 8．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，长方形ABCD中，，，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为______． 9．（2022春·湖北十堰·九年级专题练习）如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为________． 10．（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，点，点，点P为线段上一个动点，作轴于点M，作轴于点N，连接，当取最小值时，则四边形的面积为_________． 11．（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在长方形ABCD中，，，点P为边AB上的一个动点，过点P作，分别交BD、CD于点E、Q，则的最小值为______． 12．（2022·河南·九年级专题练习）如图，边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，点M为AD的中点，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，则线段MF＋AE的最小值为________． 13．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，正方形的对角线，相交于，为边上一动点（不与，重合），交于． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________． 14．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，正方形的边长为，点、分别