专题12 解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略

专题12 解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题 目录 类型一：求三角形的周长 1 类型二：三角形周长范围或最值 2 类型三：求三角形的面积 3 类型四：三角形面积的范围或最值 3 类型五：其他元素的范围或最值 4 类型一：求三角形的周长满分策略： 1.正弦定理+角的范围 2.余弦定理+基本不等式 典型例题：在中,角的对边分别为,且满足. (1)求角; (2)若为边的中点,且,,求的周长. 【答案】(1) (2) 试题分析： (1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将转化成即可求解;(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长. 详细解答： （1）在中因为, 由正弦定理得, 所以, 即, 又因为,,所以, 所以. （2）取边的中点,连接,则， 且,， 在中,由余弦定理得: , 解得,所以. 在中,由余弦定理得: 所以的周长为. 题型专练： 1．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．18 2．（2023春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）在中，分别是内角所对的边，若. (1)求； (2)若，且的面积，求的值； (3)若，且，求的周长. 3．（2023·黑龙江大庆·统考三模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，的内切圆半径为，求的周长. 4．（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）在中，的对边分别为 且. (1)求C的值； (2)若边上的点M满足，，，求的周长. 5．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）记的内角的对边分别为、、.设. (1)若，求； (2)若，求的周长. 6．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答. 已知的内角，，所对的边分别为，，，___________. (1)求的值； (2)若的面积为2，，求的周长. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 类型二：三角形周长范围或最值 典型例题：已知的面积为，角所对的边为．点为的内心，且． (1)求的大小； (2)求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 试题分析： （1）利用三角形的面积公式及余弦定理，结合同角三角函数的商数关系及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解； （2）根据（1）的结论及三角形内心的定义，利用正弦定理及两角差的正弦公式，结合辅助角公式及角范围的变化，再利用正弦函数的性质即可求解． 详细解答： （1）因为， 所以，即，可得， 因为，所以． （2）设周长为，，如图所示， 由（1）知，所以，可得， 因为点为的内心，，分别是，的平分线，且， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以 ， 因为，所以，可得， 可得周长． 题型专练： 7．（湖南省名校教研联盟2023届高三下学期4月联考数学试题）已知的内角，，的对边分别为，，，若. (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的最大值. 8．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行求解． 问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______，a＝4． (1)求A； (2)求周长的取值范围 9．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角C； (2)若，求的周长的最大值． 11．（2023春·山西太原·高一统考期中）的内角的对边分别为，已知向量与向量共线. (1)求； (2)若的面积为，求周长的取值范围. 12．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 13．（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：①；②；③. 从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：在中，角，，所对的边分别为，，，满足：___________. (1)求角的大小； (2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 类型三：求三角形的面积 典型例题：已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足． (1)求角A； (2)若，点D为边BC的中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 试题分析： （1）根据正弦定理得到，切化弦可得答案. （2）根据余弦定理得到，再次利用余弦定理得到，解得，再利用面积公式计算得到答