专题10 导数的新定义问题专练-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略

专题10 导数的新定义问题专练 1．（2023·上海徐汇·统考二模）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数. (1)函数，是否为函数﹖请说明理由； (2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围； (3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 2．（2023·上海奉贤·统考二模）设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数 ，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质． (1)求证：函数不具有性质； (2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由． 3．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小. (3)证明：. 4．（2022·上海普陀·统考一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 5．（2022·湖南·模拟预测）设为的导函数，若是定义域为D的增函数，则称为D上的“凹函数”，已知函数为R上的凹函数． (1)求a的取值范围； (2)设函数，证明：当时，，当时，． (3)证明：． 6．（2022春·北京·高二北京市第一六一中学校考期中）对于函数f（x），若存在实数满足，则称为函数f（x）的一个不动点.已知函数，其中 (1)当时， （i）求f（x）的极值点； （ii）若存在既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值： (2)若f（x）有两个相异的极值点，，试问：是否存在a，b使得，均为f（x）的不动点？证明你的结论. 7．（2022春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为. (1)判断函数与是否相切； (2)设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点； (3)若，指数函数与对数函数相切，求实数的值； (4)设（3）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点. 8．（2022春·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）某厂生产件产品的总成本元，产品单价元.求： (1)求产量时的边际成本，并说明其意义； (2)求总利润的最大值，并指出此时产量的值. 9．（2022·河北石家庄·统考一模）已知函数，. (1)当时，过坐标原点作曲线的切线，求切线方程； (2)设定义在上的函数在点处的切线方程为，对任意，若在上恒成立，则称点为函数的“好点”，求函数在上所有“好点”的横坐标（结果用表示）. 10．（2022秋·陕西安康·高三统考期末）已知函数. (1)若在其定义域内是增函数，求的取值范围； (2)定义：若在其定义域内单调递增，且在其定义域内也单调递增，则称为的“协同增函数”. 已知函数，若是的“协同增函数”，求的取值范围. 11．（2022春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）对于定义在D上的函数，其导函数为．若存在，使得，且是函数的极值点，则称函数为“极致k函数”． (1)设函数，其中，． ①若是单调函数，求实数a的取值范围； ②证明：函数不是“极致0函数”． (2)对任意，证明：函数是“极致0函数”． 12．（2021春·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）已知函数，． （1）求函数的极大值； （2）对于函数与定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由． 13．（2021春·江苏南京·高二南京市宁海中学校考期中）已知函数，． （1）求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）定义：同时相切于两条（或两条以上）的曲线的直线叫做两条（或两条以上）的曲线公切线．判断与是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数． 14．（2021春·山东济南·高二山东师范大学附中校考期中）曲线的曲率定义如下：若是的