专题09 利用导数研究隐零点和极值点偏移问题-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略

专题09 利用导数研究隐零点和极值点偏移问题 目录 类型一：先同构，构造相同的函数，比较不同的函数值 1 类型二：构造不同的函数判断相同的函数值 2 类型三：用放缩法比较大小 4 类型一：极值点偏移问题满分策略： 1.依据函数式的结构特征和函数单调性，大胆试根，再由单调性说明此根的唯一性； 2.先虚设零点，设而不求，通过形式化的变量代换或推理，达到花间并求解的目的； 3.多次求导，合理变形，直至能够求解。 典型例题： 【例1】．（2021·全国·统考高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析. 试题分析： (1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性. (2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论. 详细解答： (1)的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， (2)[方法一]：等价转化 由得，即． 由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， ①令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以． 又由，可得， 所以．② 由①②得． [方法二]【最优解】：变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 令，则有，不妨设． 由（1）知，先证． 要证： ． 令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． [方法三]：比值代换 证明同证法2．以下证明． 不妨设，则， 由得，， 要证，只需证，两边取对数得， 即， 即证． 记，则. 记，则， 所以，在区间内单调递减．，则， 所以在区间内单调递减． 由得，所以， 即． [方法四]：构造函数法 由已知得，令， 不妨设，所以． 由（Ⅰ）知，，只需证． 证明同证法2． 再证明．令． 令，则． 所以，在区间内单调递增． 因为，所以，即 又因为，所以， 即． 因为，所以，即． 综上，有结论得证． 【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能. 方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略. 方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可. 方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在. 【例2】．（2022·天津·统考二模）设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有两个极值点且，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)答案见解析 (3)证明见解析 试题分析： （1）求出的导函数，即可得到的解析式，再求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间； （2）由（1）得，，再对分三种情况讨论结合零点存在性定理，分别得到函数的零点个数； （3）由（2）可得且，依题意可得，利用导数证明，即可得到，从而得证； 详细解答： （1） 解：因为， 所以．      即，，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为． （2） 解：由（1）得，． 当时，，则在上无零点． 当时，，则在上有一个零点． 当时，，因为，，， 所以，，， 故在上有两个零点． 综上，当时，在上无零点； 当时，在上有一个零点； 当时，在上有两个零点． （3） 证明：由（2）及有两个极值点，且， 可得， 在上有两个零点，且． 所以，     两式相减得，即． 因为，所以． 下面证明，即证． 令，则即证． 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 故． 又， 所以， 故． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 题型专练： 1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围． 2．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知函数. (1)设函数，若恒成立，求的最小值； (2)若方程有两个不相等的实根、，求证：. 3．（2023春·重庆南岸·高二重庆第二外国语学校校考期中）已知函数． (1)若在单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点，，且，