专题08 利用导数研究函数的零点问题-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略

专题08 利用导数研究函数的零点问题 目录 类型一：讨论零点个数 1 类型二：已知零点求参数范围 5 类型一：讨论零点个数满分策略： 讨论零点个数的实质是研究函数图像的变化趋势，通过变化趋势看是否与x轴存在公共点，以此确定零点个数；在利用函数零点存在定理时，一般不使用极限语言，故尝尝需要“取点”，可借助ex≥x+1，lnx≤x-1等结构放缩，必要时可构造函数证明多取点的符号。 典型例题：（2023·四川达州·统考二模）设函数（、均为实数）. (1)当时，若是单调增函数，求的取值范围； (2)当时，求的零点个数. 【答案】(1) (2)的零点个数是 试题分析： （1）当时，可得出，求得，令，利用导数求出函数的最小值，分析可知恒成立，即可得出实数的取值范围； （2）令可得出，设，则，利用导数分析函数的单调性与极值，即可得出方程的解的个数，即可得解. 详细解答： （1）解：，. ，且，即. 设，则，即. 不等式的解集为，的解集为. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为，所以，， 为单调增函数，恒成立，即. （2）解：由得. 设，则，则， 即. 令，则，且. 当时，，单调递减；当时，，单调递增.，. 且，，在区间单调递增. 设，其中，则， 当时，，单调递减，，即， ， ，当时，. 当时，， ，当时，. 对任意实数，方程只有一个解，即的零点个数是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 题型专练： 1．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）设函数，其中是自然对数的底数.则（    ） A．当时， B．当时，的零点个数为0 C．当时， D．当时，的零点个数为1 2．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）函数 在实数范围内的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023·广东湛江·统考二模）若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递__________（填增或减），函数的零点个数为__________． 5．（2023春·河南洛阳·高二统考期中）已知函数，其中． (1)求函数的单调区间； (2)讨论函数的零点的个数． 6．（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值： (2)若，讨论函数的零点个数． 7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知函数． (1)若在处取得极值，求k的值； (2)若，当时，判断函数的零点个数． 8．（2023春·吉林白山·高三统考期中）已知函数，为的导函数. (1)证明：当时，； (2)判断函数的零点个数. 9．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数. (1)当时，求曲线在处切线的方程； (2)讨论函数在区间上的零点个数. 10．（2023春·湖南·高一校联考期中）已知函数. (1)证明：函数为奇函数； (2)判断函数的单调性； (3)若函数，其中，讨论函数的零点个数. 类型二：已知零点求参数范围 满分策略：分离变量 1.利用零点存在性定理构建不等式求解； 2.分理处那术后转化为函数的值域或最值问题求解； 3.转化为两个熟悉的函数图像的位置关系问题，从而构建不等式求解。 典型例题：（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当时，函数恰有3个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 试题分析： （1）由，得到，利用二次函数的性质求解； （2）由题意得到，再分，，，转化为两函数交点求解；法二：令，转化为，利用数形结合法求解； 详细解答： （1）解：当时，， 由二次函数的性质得的单减区间为. （2）由题意知，，易知不是的零点. ①当时，， 令，则， ②当时，， 令，则， ③当时，， 令，则， 设，则，记， 对于①，，设，任取，且， 则， 因为，所以，又，则， 所以，即，则m在上递增，此时单调递减，且， 故当时，只有1个零点：当时，没有零点. 对于②，，此时在单调递减，在单调递增，且时，趋近，时，趋近，， 故当，即时，有2个零点； 当，即时，没有零点； 当时，只有1个零点. 对于③，令，则，记， 因为，则，显然在单调递减，且， 则时