专题07 利用导数研究恒成立、能成立问题和不等式问题-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略

专题07 利用导数研究恒成立、成立和不等式问题 目录 类型一：能成立问题 1 类型二：恒成立问题 3 类型三：不等式问题 7 类型一：能成立问题满分策略：分离变量 1.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 2.转化策略： 典型例题：已知 且在上单调递增，. (1)对，，使得成立，求实数的取值范围. 试题分析：根据题意只需不等式左边的最小值小于等于右边的最小值即可，利用导数即可求得在上的最小值为，即证，使得成立， 即成立，参变分离后再构造函数即可得解. 详细解答：）， 当时，，， 在单调递增； 当时，，， 在单调递减； ，，， 在上的最小值为. 易知为偶函数，由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为 由题意可得，使得成立， 即成立. 由（1）可知， 参变分离得，设，， 即只需即可. 由（1）知得， 令，令， 在上单调递减，在上单调递增.， ，又已知.故的取值范围为. 题型专练： 1．（2023·贵州·校联考二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川广安·统考二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若存在，使成立，求a的取值范围. 5．（2023·福建·统考模拟预测）已知函，. (1)讨论在的单调性； (2)是否存在，且，使得曲线在和处有相同的切线？证明你的结论. 6．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若存在，使得，求a的取值范围． 7．（2023·河南·统考二模）已知函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是_______． 8．（2023春·重庆南岸·高二校考期中）函数，若存在使得，则实数的取值范围是______． 类型二：恒成立问题 满分策略： 1.构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围； 2.分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，有些不易分参的也可以采用“同构”技巧。 典型例题：（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是__________. 试题分析： 分类讨论a，当时，则，即，设，求导得到在上单调递增，进而得到，设，求出，则可得到的取值范围. 详细解答： 当时，不符合题意. 当时，则，即， 设，则恒成立，故在上单调递增. 因为，，所以.因为，即，所以，所以，所以. 设，则. 由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减， 故，即的取值范围是. 故答案为： 题型专练： 1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）当时，不等式恒成立，则的范围为______. 2．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知在区间内任取两个不相等的实数p，q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________. 3．（2023·天津河西·统考二模）已知函数，． (1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值； (2)求证：； (3)若函数对恒成立，求实数a的取值范围． 4．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知函数，，． (1)设的导函数为，当有两个零点时，求实数m的取值范围； (2)设，，当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 5．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 6．（内蒙古赤峰市2023学年高三二模数学理科试题）已知函数. (1)在当时，分别求和过点的切线方程； (2)若，求的取值范围. 7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意的，都有． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）证明：对任意的，都有． 8．（2023秋·四川乐山·高三校考阶段练习）已知函数 (1)若，求的单调性 (2)若，求证：当时，. (3)若，求证：当时，. 9．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知函数，，． (1)设的导函数为，讨论的单调性； (2)设，，当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 10．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知函数，其中. (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有求实数的取值范围. 11．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知函数，． (1)当，求的单调递减区间； (2)若在恒成立，求实数a的取值范