专题03 一题多解之立体几何综合-【考前30天极限提分】解题技巧之高考数学真题一题多解+模拟演练（新高考通用）

专题03 一题多解之立体几何综合 本节内容概括 1. 本节内容精选今近年高考真题，涵盖解题方法和解题技巧，可训练解题思维、解题素养、解题速度 2. 本节内容精选今年各地模拟题，可以强化考点、训练思维、学以致用 一题多解总述 我们知道，“数学是思维的体操”，而解题教学又是数学思维教学的核心。一道数学题从不同的角度，运用不同的数学知识，可以得到不同的解决方式，我们将它称为“一题多解”。解题教学经常进行一题多解，那么，一题多解究竟意义何在？ 一题多解的教学意义及教学优势 1、 一题多解能帮助学生建构知识联系，发现解题规律，发展思维能力，培养创新意识，提升核心素养。 2、 一题多解能发展学生解题的元认知能力，提高解题水平，改进解题习惯。 3、 一题多解可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，达到对问题的全面理解，进而迅速准确的解决问题，从而提高学生对数学的兴趣。 4、 一题多解能实现思维的分层教学，满足学生学习的个性化需求。 5、 一题多解能提高教师的思维教学能力，改进思维教学方法。 6、 一题多解有助于唤醒和发展教师个体的课程意识。 一题多解教学开展注意事项 值得提醒的是，教师在明确一题多解目的的基础上，注意不要盲目地追求一题多解，尤其应防止纯粹为追求一题多解的“作秀”味。教师在进行解题教学时，首先应注重讲授常规的通法通性，夯实“四基”，适当引导学生寻求巧解、妙解，同时避免由教师将所有解法一一介绍给学生，导致多而乱，让学生在被动接受中不知所措，最好让学生在比较、分析、联想、转化、讨论、反思中真正经历思维的生成，从而不断优化、简化解题思路，提炼解题观点，提高师生的解题能力，发展学生的核心素养。 一题多解教学本质 多解不是目的，归一才见本质 我们辛苦找寻各种解法是为了获得各种方法的共同本质和一般方法或快速求解的高阶解法，以顺利解决其它同类问题。 高考真题一题多解 一、单选题 1．（2022·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 2．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 5．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 6．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 7．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 8．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 9．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 10．（2020·北京·统考高考真题）如图，在正方体中， E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 11．（2020·浙江·统考高考真题）如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （I）证明：EF⊥DB； （II）求DF与面DBC所成角的正弦值． 12．（2020·海南·统考高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 13．（2020·全国·统考高考真题）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 14．（2020·全国·统考高考真题）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上