第10讲 函数的奇偶性与周期性、对称性-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第10讲 函数的奇偶性与周期性、对称性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 2、周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期． 常用结论 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝ (a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝ (a>0)． 3．函数对称性常用结论 (1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线 对称． (2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝ 对称． f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点 对称． 1、【2022年全国乙卷】已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（       ） A． B． C． D． 2、【2022年新高考2卷】已知函数的定义域为R，且，则（       ） A． B． C．0 D．1 3、【2021年甲卷文科】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ） A． B． C． D． 4、【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ） A． B． C． D． 5、【2021年乙卷文科】设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 6、【2021年新高考2卷】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ） A． B． C． D． 7、【2020年新课标2卷理科】设函数，则f(x)（       ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 8、【2020年新课标2卷文科】设函数,则（       ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 9、【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 1、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A B C D 2、已知是奇函数，且当时，．若，则__________． 3、（2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测）已知函数是奇函数，则的值为___________. 4、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______. 考向一　奇偶性的定义与判断 例1、判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝3x－3－x； (4)f(x)＝； (5)f(x)＝ 变式1、判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝x lg (x＋)； (2) f(x)＝(1－x) ； (3) f(x)＝ (4) f(x)＝. 方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断． 2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了． 3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 考向二 函数的周期性及应用 例2、已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，