北京市一零一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

北京一零一中 2022-2023学年度第二学期高一数学期中考试参考答案 1. (2014海淀二模理 1) A 2. B 3. B 4. C 5. D 根据题意得 # – AF = 12 ( # – AC + # – AE),又 # – AC = # – AB + # – AD, # – AE = 12 # – AB,所以 # – AF = 12 ( # – AB + # – AD + 1 2 # – AB) = 34 # – AB + 12 # – AD. 故选 D. 6. D 7. B 依题意得 tanα = yx = 3,则 sin(π − α) sin( 3π 2 + α) = sinα− cosα = − tanα,故选 B. 8. (2021海淀二模 (改编) 9) A 9. (2022石景山高一下期末 (改编) 10) B 10. B 11. π3 . 12. (2022房山高三上期末 12) 4; √ 15. 13. 3 + 4 √ 3 10 . 因为 α ∈ (0, π2 ),所以 α + π 3 ∈ ( π 3 , 5 6 π). 因为 cos(α + π 3 ) = − 4 5 ,所以 sin(α + π 3 ) = 3 5 ,所 以 sinα = sin[(α+ π3 )− π 3 ] = sin(α+ π 3 ) cos π 3 −cos(α+ π 3 ) sin π 3 = 3 5 × 1 2 −(− 4 5 )× √ 3 2 = 3 + 4 √ 3 10 . 14. (2021昌平高三上期末 14) π; − π3 . 15. ①②③. 北京一零一中 2022-2023学年度第二学期高一数学期中考试参考答案　第 1页（共 5页） 16. (2021海淀高一下期中 (改编) 18) (1)表格填写如下: x π3 5π 6 4π 3 11π 6 7π 3 x − π3 0 π 2 π 3π 2 2π f (x) 0 2 0 −2 0 图象如下: (2)①由题意, g(x) = f (ωx) = 2 sin(ωx − π3 ), T = 2π ω = 2π3 , ω = 3,即 g(x) = 2 sin(3x − π 3 ). 令 − π2 + 2kπ 6 3x − π 3 6 π 2 + 2kπ,解得 − π 18 + 2kπ 3 6 x 6 5π 18 + 2kπ 3 . 所以 g(x)的单调递增区间为 [− π18 + 2kπ 3 , 5π 18 + 2kπ 3 ] (k ∈ Z). ② ω的取值范围为 (0, 1). 17. (2022石景山高一下期末 (改编) 20) (1) | # –AC + # –AB|2 = ( # –AC + # –AB)2 = # –AC2 + # –AB2 + 2 # –AC · # –AB = 32. 所以 | # –AC + # –AB| = 4 √ 2. 北京一零一中 2022-2023学年度第二学期高一数学期中考试参考答案　第 2页（共 5页） (2)以 A为原点, AB所在直线为 x轴建立平面直角 坐标系如图所示. B点坐标为 (4, 0), C点坐标为 (0, 4). 设 P点坐标为 (cosα, sinα). 所以 # – PB = (4 − cosα,− sinα), # –PC = (− cosα, 4 − sinα). 所以 # – PB · # –PC = −4 sinα−4 cosα+1 = −4 √ 2 sin(α+ π 4 ) + 1. 所以 # – PB · # –PC的取值范围是 [−4 √ 2 + 1, 4 √ 2 + 1]. 18. (2022朝阳二模 (改编）16) 由题可知, f (x) = cos2 ωx + √ 3 sinωx cosωx + m = √ 3 2 sin 2ωx + 1 2 cos 2ωx + m + 1 2 = sin(2ωx + π 6 ) + m + 1 2 . 选择①②: (1)因为 T = 2π2ω = π,所以 ω = 1. 又因为 f (0) = 1 + m = 12 ,所以 m = − 1 2 . 所以 f (x) = sin(2x + π6 ). 当 2x + π6 = 2kπ − π 2 , k ∈ Z,即 x = kπ − π 3 , k ∈ Z时, f (x) = −1. 所以函数 f (x)的最小值为 −1. (2)因为 x ∈ [0, t],所以 2x + π6 ∈ [ π 6 , 2t + π 6 ], 又因为 f (x)在区间上 [0, t]上有且仅有 2条对称轴, 所以 3π2 6 2t + π 6 <