4.2两角和与差的三角函数公式（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

4.2两角和与差的三角函数公式 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：两角和与差的余弦公式及其应用 必会题型二：两角和与差的正弦、正切公式及其应用 必会题型三：三角函数式的化简、求值及证明 必会题型四：和角、差角公式综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 两角差的余弦公式 1．公式的推导 如图4-2-1，设角的终边与单位圆的交点分别 记为．此时，点和点的坐标分别为，和． 如果，那么可以用向量的数量积求．由于向量和向量都是单位向量，它们的夹角是，根据向量数量积的定义知，，再利用向量的坐标表示，得． 的夹角(如图4-2-2)．由诱导公式知， 所以． 对于任意角来说，上述结论仍然成立． 这样，就得到了两角差的余弦公式： ，记作． 【名师点睛】(1)公式中的都是任意角，既可以是一个角，又可以是几个角的组合． (2)若或是的形式，则可以直接利用三角函数的诱导公式进行计算． (3)一般情况下，． (4)要掌握公式的逆用，如． 2．公式特点：右端为的同名三角函数的积的和，左端为两角差的余弦． 必会知识二 两角和的余弦公式 1．公式推导 因为，所以由公式，得 这就是两角和的余弦公式，记作． 2．公式特点 右端为的同名三角函数的积的差，左端为两角和的余弦． 3．两角和与差的余弦公式的记忆方法：“余余正正，符号相反”． (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”； (3)两角和与两角差的余弦公式只有中间的连接符号不同． 【名师点睛】(1)对公式不但要会正用，还要会逆用，如． (2)要熟记一些特殊角的三角函数值，以便在运用公式计算时使用． (3)一般情况下，． 必会知识三 两角和与差的正弦公式 1．公式推导 借助诱导公式，根据两角和与差的余弦公式，可以推导出两角和与差的正弦公式． 从而可得两角和与差的正弦公式，记作． 2．两角和与差的正弦公式的记忆方法：“正余余正，符号相同”． (1)“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； (2)“符号相同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“－”； (3)两角和与两角差的正弦公式只有中间的连接符号不同． 【名师点睛】(1)公式的推导，由替换公式中的得到． (2)公式中的是任意角，若中有一个是的整数倍，则利用诱导公式较为简便． (3)一般情况下，． 必会知识四 两角和与差的正切公式 1．公式推导 由正切函数的定义，有 分子、分母同除以(当时)，得到两角和的正切公式，记作．同理可得． 2．公式的适用条件 从推导过程可以知道，均有一定的取值范围，即 这样才能保证及都有意义． 3．两角和与差的正切公式的记忆方法 (1)公式的右侧为分式形式，其中分子为与的和或差，分母为1与的差或和． (2)符号规律： 符号变化规律可简记为“分子同，分母异”． 【名师点睛】当[或〕中任一个的值不存在时，不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法．例如，化简，因为的值不存在，所以不能利用公式进行化简，应改用诱导公式来化简，． 4．和角公式、差角公式：公式通常都叫作和角公式，而公式通常都叫作差角公式． 必会知识五 辅助角公式 一般地，当不同时为0时， ． 根据，引人辅助角，使得． 所以(不同时为0． 其中角所在象限由的符号确定，角的值由和的值确定，也就是由来确定． 同理，设角，使得， 所以． 特别地，当时，． 必会知识六 积化和差公式与和差化积公式(不要求记忆)． 1．三角函数的积化和差 已知，将两式左右两边分别相加，易得 用类似方法可以推出： 【名师点睛】(1)记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差． (2)任意两角的正弦、余弦的积都可化为的形式．若两角的函数名同为正弦或余弦，则“”表示余弦；若两角的函数名一个为正弦一个为余弦，则“”表示正弦． 2．三角函数的和差化积从积化和差的4个公式可得出 设，则． 这样，上面得出的四个式子可以写成 ． 【名师点睛】(1)记忆口诀：正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦． (2)利用和差化积与积化和差公式化简三角函数式时，关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当组合．组合时遵循原则：①应尽量使两角的和(差)出现特殊角；②对于特殊角的三角函数应求出其值． 必会知识七 常值的代换和公式变换 1．常值代换 用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中