专题10 轻松解决空间几何体的体积问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第二册）

专题10 轻松解决空间几何体的体积问题 【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：割补法 题型三：换底法 题型四：祖暅原理 【典型例题】 题型一：直接法 例1．（2023·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）如图，长方体的体积是24，E为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分． （1）若，求多面体的表面积； （2）求三棱锥的体积． 【解析】（1）因为长方体的体积是24，E为的中点，， 所以，则，所以， 因此，，， 因此， 所以多面体的表面积为 ； （2）因为在长方体中，侧棱和底面垂直，所以平面； 由（1）可得三棱锥的体积. 例2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱锥中，，．求的体积． 【解析】过P作底面垂线，垂直为O，则O为底面三角形的中心， 连接AO并延长，交BC于N， 则，． ∴． ∴． 例3．（2023·江西南昌·统考二模）如图，A，B，C是正方体的顶点，，点P在正方体的表面上运动，若三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，正方体边长为2， 所以点在如图所示的顶点位置，， 三棱锥的体积为. 故选：C 例4．（2023·北京·高二统考学业考试）如图，正方体的棱长为1，分别为棱上的动点，那么三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】平面，F在上， 所以三棱锥的高为正方体的棱长1， 又因为E在上，所以以为底边，高为正方形的边长1， 由三棱锥的体积公式得， 故选：A． 题型二：割补法 例5．（2023·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，． (1)求多面体的体积； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）将多面体补形得到直三棱柱，如图①， 因为，即S为的中点，所以， 又，故多面体的体积为． （2）如图②，将多面体补形为长方体，连接，则， 易知，又点O到平面MDC的距离为， 所以． 例6．（2023·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求 （1）截去的三棱锥的表面积； （2）剩余的几何体的体积. 【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形， 所以截去的三棱锥的表面积 （2）正方体的体积为， 三棱锥的体积为， 所以剩余的几何体的体积为. 例7．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【解析】截去的三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2， 三棱锥的体积为 正方体的体积为， 则该正方体剩余几何体的体积为 故选：C 例8．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______. 【答案】10 【解析】由题意可得， 因为是的中点， 所以，， ，， 所以， 故答案为：10. 题型三：换底法 例9．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，E是PD的中点，点F在PC上，且． (1)证明：平面PAB； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：在线段上取点，使得， 所以，在中，，且， 因为在四边形中，，， 所以，， 所以，四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）作交于点， 因为面，所以， 又，与交于点， 所以面，， 又，所以，所以， 所以，得， 因为为中点， 所以 例10．（2023·高一课前预习）如图，在棱长为的正方体中，求三棱锥的体积． 【解析】在棱长为的正方体中，是三棱锥底面上的高， 所以三棱锥的体积. 例11．（2023·河南开封·高一河南省杞县高中校考期中）如图，正三棱锥中，，点分别为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求： (1)该三棱锥的体积与表面积； (2)蚂蚁爬行的最短路线长. 【解析】（1）因为， 所以，即， 又，VB、VC在面VBC内，得面， ， （2）如下图：连接，线段的长度即蚂蚁爬行的最短路线长， △中，， 由余弦定理可得：， 即. 例12．（2023·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点． (1)当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积； (2)当P在线段上移动时，求的最小值． 【解析】（1）由已知可得， 由余弦定理有，得到． 在中，有， ． （2）将绕旋转到与同一平面（如图所示）， 连接交于点，此时取得最小值，最小值即长． 在中，，，， 故，故，即， 又易知，故， 由余弦定理得，所以， （或者