专题11 轻松搞定立体几何的轨迹问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第二册）

专题11 轻松搞定立体几何的轨迹问题 【题型归纳目录】 题型一：轨迹图形 题型二：轨迹长度 题型三：轨迹面积 【典型例题】 题型一：轨迹图形 例1．（2023·全国·高一假期作业）在四棱柱中，侧面底面，且侧面为矩形，底面为菱形，O为与交点，已知． (1)求证：平面； (2)在图上作出平面与平面的交线，并证明． (3)设点M在内（含边界），且，说明满足条件的点M的轨迹，并求的最小值． 例2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，点在侧面及边界上运动并保持，在图中画出点的运动轨迹． 例3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正四棱锥中，是的中点，点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持平面．则动点的轨迹与组成的相关图形最有可能是图中的（    ） A． B． C． D． 例4．（2023·高一课时练习）如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（    ） A． B． C． D． 题型二：轨迹长度 例5．（2023·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点到底面的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球的半径为5，则满足上述条件的顶点的轨迹长度为__________. 例6．（2023·浙江宁波·高一宁波中学校联考期中）如图，已知长方体，，，E、F分别是棱、的中点，点为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点的轨迹长度为（        ） A． B． C． D． 例7．（2023·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F是侧面内的动点，若平面，则点F轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 例8．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体的棱长为2，点M、N在正方体的表面上运动，分别满足：，平面，设点M、N的运动轨迹的长度分别为m、n，则_______________. 例9．（2023·辽宁铁岭·高一校联考期末）如图，在棱长为3的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则点P的轨迹长度为_____________． 例10．（2023·四川雅安·高一统考期末）点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______． 题型三：轨迹面积 例11．（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知正方体的棱长为1，空间一动点满足，且，则______，点的轨迹围成的封闭图形的面积为______． 例12．（2023·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）如图，定点A和B都在平面α内，，定点，，是内一动点，且.那么，动点在平面内的轨迹所围成图形的面积为___________． 例13．（2023·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（含边界）一点，以下选项错误的是（    ）. A．若，则满足条件的P点有且只有一个 B．若，则点P的轨迹是一段圆弧 C．若平面，则长的最小值为 D．若且平面，则平面截正方体外接球所得截面的面积为 例14．（2023·全国·高一专题练习）正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面，则动点P的轨迹面积为（    ） A． B．5 C． D． 例15．（2023·全国·高一专题练习）设正方体的棱长为1，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列命题： ①点可以是棱的中点； ②点的轨迹是菱形； ③点轨迹的长度为； ④点的轨迹所围成图形的面积为. 其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【过关测试】 一、多选题 1．（2023·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期中）已知正方体的棱长为2，点E、F分别是棱、的中点，点P在四边形内（包含边界）运动，则下列说法正确的是（ ） A．若P是线段的中点，则平面平面 B．若P在线段上，则异面直线与所成角的范围是 C．若平面，则点P的轨迹长度为 D．若平面，则长度的取值范围是 2．（2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知在直四棱柱中，底面为菱形且，四边形是边长为的正方形，点为底面内一动点（不包含边界），满足平面，则下列说法正确的是（　　） A．异面直线BC1与所成角为 B．任意点均满足 C．三棱锥的体积为 D．点的轨迹长度为 3．（2023·高一课时练习）在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．点F的轨迹是一条线段 B．与是异面直线 C．与不可能平行 D．三棱锥的体积为定值 4．（2023·河北张家口·