考点05幂函数（5种题型1个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

考点05幂函数（5种题型1个易错考点） 一、 真题多维细目表 考题 考点 考向 2022天津 幂函数、对数函数的单调性 利用幂函数、对数函数的单调性比较大小 2020江苏 幂函数奇偶性 根据奇函数性质求函数值 二、命题规律与备考策略 熟悉几种常见幂函数的图像，根据图像判断单调性和奇偶性 三、 2022真题抢先刷，考向提前知 一、单选题 1．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 四、考点清单 一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． 解析式：y＝xa＝ 定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数． 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数． 2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数． 而只有a为正数，0才进入函数的值域． 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的． 二．幂函数的图象 三．幂函数的性质 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用 1、幂函数定义： 一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． （1）指数是常数； （2）底数是自变量； （3）函数式前的系数都是1； （4）形式都是y＝xa，其中a是常数． 2、幂函数与指数函数的对比 式子 名称 a x y 指数函数：y＝ax 底数 指数 幂值 幂函数：y＝xa 指数 底数 幂值 3、五个常用幂函数的图象和性质 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） 4、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）． （2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数． （3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数． （4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数． 五．对数函数的单调性与特殊点 对数函数的单调性和特殊点： 1、对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点 对数函数恒过点（1，0） 五、题型方法 一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共17小题） 1．（2023•黄浦区模拟）设m∈R，若幂函数y＝定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（　　） A．1 B．4 C．7 D．10 2．（2023•和平区校级一模）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递减，则g（x）＝loga（x+m）+2（a＞0）的图象过定点（　　） A．（﹣4，2） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（4，2）