上海市实验学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

上海实验学校高二期中考试数学试卷 2023.04 一.填空题（每题4分，共40分） 1. 过点，且一个法向量为的直线的点法向式方程是________. 2. 若，求圆心坐标为___________. 3. 椭圆焦距是______. 4. 双曲线的两条渐近线夹角为________． 5. 已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______. 6. 若原点到直线：的距离为4，则的值是______. 7. 已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为__ 8. 设是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且满足，则的面积是___________． 9. 已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______. 10. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 二.选择题（每题4分，共16分） 11. “”是“直线与直线相互垂直”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 13. 已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，若上的点满足轴，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，延长 交椭圆于点，若△为等腰三角形，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 三.解答题（本大题满分44分，本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 15. 设直线的方程为. （1）若在两坐标轴上截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a的值. 16. 如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为r的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设Q为圆心C与P连线与路面的交点． （1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上？ （2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段上，求的最大值． 17. 设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点. (Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积; (Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由. 18. 设，椭圆：与双曲线：的焦点相同． （1）求椭圆与双曲线的方程； （2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（，不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出此定值； （3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围． 四.附加题（共20分） 19. 如图，过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为. （1）当点坐标为(0，-2)时，求直线的方程； （2）记点关于轴对称点为（异于点，），求证：直线 恒过定点； （3）求四边形面积的取值范围. 20. 如图，已知双曲线的方程为（），两条渐近线的夹角为，焦点到渐近线的距离为．、两动点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，是直线与双曲线右支的一个公共点，. （1）求双曲线的方程； （2）当时，求的取值范围； （3）试用表示的面积，设双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求的取值范围. 上海实验学校高二期中考试数学试卷 2023.04 一.填空题（每题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】； 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 二.选择题（每题4分，共16分） 【11题答案】 【答案】A 【12题答案】 【答案】A 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 三.解答题（本大题满分44分，本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 【15题答案】 【答案】（1）或（2） 【16题答案】 【答案】（1）；（2）. 【17题答案】 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【18题答案】 【答案】（1）椭圆方程为，双曲线的方程为；（2）详见解析.（3）见解析． 四.附加题（共20分） 【19题答案】 【答案】（1）；（2）直线恒过定点；（3）. 【20题答案】 【答案】（1）；（2）；（3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $