上海市曹杨第二中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

1 上海市曹杨二中 2022 学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 命题人： 郭天翔 审核人： 汪哲豪 、 试卷共 1 页 4 张 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚． 2、本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．请考生用水笔或圆珠笔 将答案直接写在试卷（或答题卷）上． 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分） 1．已知点 (2, 1)P − 位于角 的终边上，则 sin = ________． 2．函数 π 4 cos 2y x   − =   的最小正周期为________． 3．若复数 z 满足 2 1 3 6iz − = + （其中 i 是虚数单位），则 z = ________． 4．已知 (1,2)A ， (5, 1)B − ，则向量 AB 的单位向量的坐标为________． 5．已知向量 (2,1)a = ， (3,4)b = ，则 a 在b 方向上的数量投影为________． 6．若 sin cos 2 sin cos     + = − ，则 cot =________． 7．已知 (0,π) ，且 5 sin π 3 2    + = −    ，则 tan π 4    + =    ________． 8．已知 a 、 b 均为单位向量，且 (3 2 ) ( 4 )a b a b+ ⊥ − + ，则 ,a b  = ________． 9．已知三倍角的余弦公式： 3cos3 4cos 3cos  = − ．借助此公式，我们可以求得函数 34 3 2y x x= − − ， 3 0, 2 x        的值域为________． 10．若 sin( 2 )2sin  = − ，则 )cottan(a  − =________． 11．设 π 6   − ，若函数 2 2scos inx xy += 在区间 , 6     −    上的最小值为 1 4 − ，则 的取值范 围是________． 12．已知 e 是单位向量，向量 a 满足 2a e = ．若不等式 2 5a a te + 对任意实数 t 都成 立，则 a 的取值范围是________． 2 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13~14 题每题 4 分，第 15~16 题每题 5 分） 13．已知 1e 、 2e 是平面向量的一个基．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一个基的是 （ ）． A． 21e e+ 、 1 2e e− B． 1 23 2e e− 、 1 26 4e e− + C． 1 22e e+ 、 1 22e e+ D． 2e 、 1 2e e+ 14．设 zC且 0z  ，则“ z 是纯虚数”是“ 2z R ”的（ ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．设 ( ) sinf x x= ．若对任意 1 π 0, 2 x        ，都存在 2 π 0, 2 x        ，使得 1 2( ) 2 ( ) 1f x f x − + = − ，则 可以是（ ）． A． π 5 B． 2π 5 C． 3π 5 D． 4π 5 16．在△ ABC 中，若 2 36AC AB AB BC BC CA =  =  ，则 A =（ ）． A． π 4 B． π 3 C． 2π 3 D． 3π 4 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分） 17．（本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 设 aR ， 2( ) 3sin 2 cosf x x a x= + ． （1）若函数 ( )y f x= 是定义在R 上的奇函数，求 a 的值； （2）若 π 3 6 f   =    ，求函数 ( )y f x= 在区间 π 0, 2       上的取值范围． 3 18．（本题满分 14 分，第 1 小题 8 分，第 2 小题 6 分） 在△ ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．设向量 (2 , )m b c a= + − ， (cos ,cos )n C A= ，且